Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
13 / 4166 / 2886
↖ ↑ ↗
← N 46.860191°
E  3.076172°		 ← 3 341.29 m → N 46.860191°
E  3.120117°		 →
↑
3 342.23 m
↓
↑
3 342.23 m
↓
N 46.830134°
E  3.076172°		 ← 3 343.16 m →
11 170 477 m²		 N 46.830134°
E  3.120117°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 13 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 4166 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 2886 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.50860595703125 y=0.35235595703125 und der Vergrößerungsstufe zoom=13 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.50860595703125 × 213)
    floor (0.50860595703125 × 8192)
    floor (4166.5)     		tx = 4166
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.35235595703125 × 213)
    floor (0.35235595703125 × 8192)
    floor (2886.5)     		ty = 2886
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 13 / 4166 / 2886 ti = "13/4166/2886"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/13/4166/2886.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 4166 ÷ 213
    4166 ÷ 8192     		x = 0.508544921875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 2886 ÷ 213
    2886 ÷ 8192     		y = 0.352294921875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.508544921875 × 2 - 1) × π
    0.01708984375 × 3.1415926535     		Λ = 0.05368933
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.352294921875 × 2 - 1) × π
    0.29541015625 × 3.1415926535     		Φ = 0.928058376644287
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.05368933} λ = 0.05368933}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.928058376644287))-π/2
    2×atan(2.5295928897375)-π/2
    2×1.19433047405684-π/2
    2.38866094811367-1.57079632675     		φ = 0.81786462
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.05368933} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 3.076172°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.81786462 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 46.860191°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 4166 KachelY 2886 0.05368933 0.81786462 3.076172 46.860191
    Oben rechts KachelX + 1 4167 KachelY 2886 0.05445632 0.81786462 3.120117 46.860191
    Unten links KachelX 4166 KachelY + 1 2887 0.05368933 0.81734002 3.076172 46.830134
    Unten rechts KachelX + 1 4167 KachelY + 1 2887 0.05445632 0.81734002 3.120117 46.830134
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.81786462-0.81734002) × R
    0.000524600000000097 × 6371000     		dl = 3342.22660000062m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.81786462-0.81734002) × R
    0.000524600000000097 × 6371000     		dr = 3342.22660000062m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.05368933-0.05445632) × cos(0.81786462) × R
    0.000766990000000002 × 0.683780924871142 × 6371000     		do = 3341.29090121284m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.05368933-0.05445632) × cos(0.81734002) × R
    0.000766990000000002 × 0.684163624753859 × 6371000     		du = 3343.16096162182m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.81786462)-sin(0.81734002))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.683780924871142-0.684163624753859)×R²
    abs(0.05445632-0.05368933)×0.000382699882716997×R²
    0.000766990000000002×0.000382699882716997×6371000²
    0.000766990000000002×0.000382699882716997×40589641000000     		ar = 11170476.6673773m²