Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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13 / 4168 / 2888
↖ ↑ ↗
← N 46.800060°
E  3.164063°		 ← 3 345.03 m → N 46.800060°
E  3.208008°		 →
↑
3 345.99 m
↓
↑
3 345.99 m
↓
N 46.769968°
E  3.164063°		 ← 3 346.90 m →
11 195 555 m²		 N 46.769968°
E  3.208008°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 13 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 4168 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 2888 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.50885009765625 y=0.35260009765625 und der Vergrößerungsstufe zoom=13 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.50885009765625 × 213)
    floor (0.50885009765625 × 8192)
    floor (4168.5)     		tx = 4168
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.35260009765625 × 213)
    floor (0.35260009765625 × 8192)
    floor (2888.5)     		ty = 2888
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 13 / 4168 / 2888 ti = "13/4168/2888"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/13/4168/2888.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 4168 ÷ 213
    4168 ÷ 8192     		x = 0.5087890625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 2888 ÷ 213
    2888 ÷ 8192     		y = 0.3525390625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.5087890625 × 2 - 1) × π
    0.017578125 × 3.1415926535     		Λ = 0.05522331
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.3525390625 × 2 - 1) × π
    0.294921875 × 3.1415926535     		Φ = 0.926524395856445
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.05522331} λ = 0.05522331}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.926524395856445))-π/2
    2×atan(2.52571551751115)-π/2
    2×1.19380572712614-π/2
    2.38761145425228-1.57079632675     		φ = 0.81681513
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.05522331} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 3.164063°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.81681513 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 46.800060°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 4168 KachelY 2888 0.05522331 0.81681513 3.164063 46.800060
    Oben rechts KachelX + 1 4169 KachelY 2888 0.05599030 0.81681513 3.208008 46.800060
    Unten links KachelX 4168 KachelY + 1 2889 0.05522331 0.81628994 3.164063 46.769968
    Unten rechts KachelX + 1 4169 KachelY + 1 2889 0.05599030 0.81628994 3.208008 46.769968
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.81681513-0.81628994) × R
    0.000525189999999953 × 6371000     		dl = 3345.9854899997m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.81681513-0.81628994) × R
    0.000525189999999953 × 6371000     		dr = 3345.9854899997m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.05522331-0.05599030) × cos(0.81681513) × R
    0.000766990000000002 × 0.684546347752357 × 6371000     		do = 3345.03113498591m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.05522331-0.05599030) × cos(0.81628994) × R
    0.000766990000000002 × 0.684929100734778 × 6371000     		du = 3346.90145486623m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.81681513)-sin(0.81628994))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.684546347752357-0.684929100734778)×R²
    abs(0.05599030-0.05522331)×0.000382752982420187×R²
    0.000766990000000002×0.000382752982420187×6371000²
    0.000766990000000002×0.000382752982420187×40589641000000     		ar = 11195554.9301856m²