Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
13 / 4170 / 2890
N 46.739861°
E  3.251953°
← 3 348.77 m → N 46.739861°
E  3.295898°

3 349.74 m

3 349.74 m
N 46.709736°
E  3.251953°
← 3 350.64 m →
11 220 663 m²
N 46.709736°
E  3.295898°

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 13 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 4170 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 2890 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.50909423828125 y=0.35284423828125 und der Vergrößerungsstufe zoom=13 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.50909423828125 × 213)
    floor (0.50909423828125 × 8192)
    floor (4170.5)
    tx = 4170
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.35284423828125 × 213)
    floor (0.35284423828125 × 8192)
    floor (2890.5)
    ty = 2890
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 13 / 4170 / 2890 ti = "13/4170/2890"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/13/4170/2890.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 4170 ÷ 213
    4170 ÷ 8192
    x = 0.509033203125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 2890 ÷ 213
    2890 ÷ 8192
    y = 0.352783203125
    Länge (Λ)
    (Merkator)
    +(x × 2 - 1) × π +(0.509033203125 × 2 - 1) × π
    0.01806640625 × 3.1415926535
    Λ = 0.05675729
    Breite (Φ)
    (Merkator)
    -(y × 2 - 1) × π -(0.352783203125 × 2 - 1) × π
    0.29443359375 × 3.1415926535
    Φ = 0.924990415068604
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.05675729} λ = 0.05675729}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.924990415068604))-π/2
    2×atan(2.52184408853972)-π/2
    2×1.19328039308229-π/2
    2.38656078616459-1.57079632675
    φ = 0.81576446
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.05675729} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 3.251953°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.81576446 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 46.739861°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 4170 KachelY 2890 0.05675729 0.81576446 3.251953 46.739861
    Oben rechts KachelX + 1 4171 KachelY 2890 0.05752428 0.81576446 3.295898 46.739861
    Unten links KachelX 4170 KachelY + 1 2891 0.05675729 0.81523868 3.251953 46.709736
    Unten rechts KachelX + 1 4171 KachelY + 1 2891 0.05752428 0.81523868 3.295898 46.709736
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOLUL) × R abs(0.81576446-0.81523868) × R
    0.000525780000000031 × 6371000
    dl = 3349.7443800002m
    Rechte Seite abs(φORUR) × R abs(0.81576446-0.81523868) × R
    0.000525780000000031 × 6371000
    dr = 3349.7443800002m
    Obere Seite abs(λOLOR) × cos(φOL) × R abs(0.05675729-0.05752428) × cos(0.81576446) × R
    0.000766989999999995 × 0.685311875989394 × 6371000
    do = 3348.77188357946m
    Untere Seite abs(λULUR) × cos(φUL) × R abs(0.05675729-0.05752428) × cos(0.81523868) × R
    0.000766989999999995 × 0.685694680376189 × 6371000
    du = 3350.64245464692m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ12)×abs(sinφ1-sinφ2)× abs(λ12)×abs(sin(0.81576446)-sin(0.81523868))×
    abs(λ12)×abs(0.685311875989394-0.685694680376189)×
    abs(0.05752428-0.05675729)×0.000382804386794944×
    0.000766989999999995×0.000382804386794944×6371000²
    0.000766989999999995×0.000382804386794944×40589641000000
    ar = 11220663.0228735m²