Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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13 / 4172 / 2764
↖ ↑ ↗
← N 50.401515°
E  3.339844°		 ← 3 114.67 m → N 50.401515°
E  3.383789°		 →
↑
3 115.61 m
↓
↑
3 115.61 m
↓
N 50.373496°
E  3.339844°		 ← 3 116.51 m →
9 706 961 m²		 N 50.373496°
E  3.383789°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 13 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 4172 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 2764 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.50933837890625 y=0.33746337890625 und der Vergrößerungsstufe zoom=13 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.50933837890625 × 213)
    floor (0.50933837890625 × 8192)
    floor (4172.5)     		tx = 4172
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.33746337890625 × 213)
    floor (0.33746337890625 × 8192)
    floor (2764.5)     		ty = 2764
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 13 / 4172 / 2764 ti = "13/4172/2764"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/13/4172/2764.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 4172 ÷ 213
    4172 ÷ 8192     		x = 0.50927734375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 2764 ÷ 213
    2764 ÷ 8192     		y = 0.33740234375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.50927734375 × 2 - 1) × π
    0.0185546875 × 3.1415926535     		Λ = 0.05829127
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.33740234375 × 2 - 1) × π
    0.3251953125 × 3.1415926535     		Φ = 1.02163120470264
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.05829127} λ = 0.05829127}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.02163120470264))-π/2
    2×atan(2.77772210380975)-π/2
    2×1.2252343585766-π/2
    2.45046871715321-1.57079632675     		φ = 0.87967239
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.05829127} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 3.339844°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.87967239 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 50.401515°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 4172 KachelY 2764 0.05829127 0.87967239 3.339844 50.401515
    Oben rechts KachelX + 1 4173 KachelY 2764 0.05905826 0.87967239 3.383789 50.401515
    Unten links KachelX 4172 KachelY + 1 2765 0.05829127 0.87918336 3.339844 50.373496
    Unten rechts KachelX + 1 4173 KachelY + 1 2765 0.05905826 0.87918336 3.383789 50.373496
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.87967239-0.87918336) × R
    0.000489030000000001 × 6371000     		dl = 3115.61013000001m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.87967239-0.87918336) × R
    0.000489030000000001 × 6371000     		dr = 3115.61013000001m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.05829127-0.05905826) × cos(0.87967239) × R
    0.000766990000000002 × 0.637403611766001 × 6371000     		do = 3114.66847191634m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.05829127-0.05905826) × cos(0.87918336) × R
    0.000766990000000002 × 0.637780347868364 × 6371000     		du = 3116.50939035263m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.87967239)-sin(0.87918336))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.637403611766001-0.637780347868364)×R²
    abs(0.05905826-0.05829127)×0.00037673610236244×R²
    0.000766990000000002×0.00037673610236244×6371000²
    0.000766990000000002×0.00037673610236244×40589641000000     		ar = 9706960.62820778m²