Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
13 / 4192 / 2913
↖ ↑ ↗
← N 46.042735°
E  4.218750°		 ← 3 391.82 m → N 46.042735°
E  4.262695°		 →
↑
3 392.75 m
↓
↑
3 392.75 m
↓
N 46.012224°
E  4.218750°		 ← 3 393.69 m →
11 510 772 m²		 N 46.012224°
E  4.262695°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 13 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 4192 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 2913 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.51177978515625 y=0.35565185546875 und der Vergrößerungsstufe zoom=13 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.51177978515625 × 213)
    floor (0.51177978515625 × 8192)
    floor (4192.5)     		tx = 4192
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.35565185546875 × 213)
    floor (0.35565185546875 × 8192)
    floor (2913.5)     		ty = 2913
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 13 / 4192 / 2913 ti = "13/4192/2913"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/13/4192/2913.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 4192 ÷ 213
    4192 ÷ 8192     		x = 0.51171875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 2913 ÷ 213
    2913 ÷ 8192     		y = 0.3555908203125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.51171875 × 2 - 1) × π
    0.0234375 × 3.1415926535     		Λ = 0.07363108
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.3555908203125 × 2 - 1) × π
    0.288818359375 × 3.1415926535     		Φ = 0.907349636008423
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.07363108} λ = 0.07363108}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.907349636008423))-π/2
    2×atan(2.4777468921694)-π/2
    2×1.18719683028095-π/2
    2.3743936605619-1.57079632675     		φ = 0.80359733
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.07363108} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 4.218750°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.80359733 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 46.042735°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 4192 KachelY 2913 0.07363108 0.80359733 4.218750 46.042735
    Oben rechts KachelX + 1 4193 KachelY 2913 0.07439807 0.80359733 4.262695 46.042735
    Unten links KachelX 4192 KachelY + 1 2914 0.07363108 0.80306480 4.218750 46.012224
    Unten rechts KachelX + 1 4193 KachelY + 1 2914 0.07439807 0.80306480 4.262695 46.012224
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.80359733-0.80306480) × R
    0.000532529999999976 × 6371000     		dl = 3392.74862999984m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.80359733-0.80306480) × R
    0.000532529999999976 × 6371000     		dr = 3392.74862999984m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.07363108-0.07439807) × cos(0.80359733) × R
    0.000766989999999995 × 0.694121640366091 × 6371000     		do = 3391.82073809268m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.07363108-0.07439807) × cos(0.80306480) × R
    0.000766989999999995 × 0.694504887761444 × 6371000     		du = 3393.69347391848m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.80359733)-sin(0.80306480))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.694121640366091-0.694504887761444)×R²
    abs(0.07439807-0.07363108)×0.000383247395353004×R²
    0.000766989999999995×0.000383247395353004×6371000²
    0.000766989999999995×0.000383247395353004×40589641000000     		ar = 11510772.2953503m²