Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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13 / 4200 / 2920
↖ ↑ ↗
← N 45.828799°
E  4.570312°		 ← 3 404.93 m → N 45.828799°
E  4.614258°		 →
↑
3 405.87 m
↓
↑
3 405.87 m
↓
N 45.798170°
E  4.570312°		 ← 3 406.80 m →
11 599 953 m²		 N 45.798170°
E  4.614258°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 13 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 4200 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 2920 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.51275634765625 y=0.35650634765625 und der Vergrößerungsstufe zoom=13 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.51275634765625 × 213)
    floor (0.51275634765625 × 8192)
    floor (4200.5)     		tx = 4200
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.35650634765625 × 213)
    floor (0.35650634765625 × 8192)
    floor (2920.5)     		ty = 2920
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 13 / 4200 / 2920 ti = "13/4200/2920"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/13/4200/2920.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 4200 ÷ 213
    4200 ÷ 8192     		x = 0.5126953125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 2920 ÷ 213
    2920 ÷ 8192     		y = 0.3564453125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.5126953125 × 2 - 1) × π
    0.025390625 × 3.1415926535     		Λ = 0.07976700
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.3564453125 × 2 - 1) × π
    0.287109375 × 3.1415926535     		Φ = 0.901980703250977
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.07976700} λ = 0.07976700}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.901980703250977))-π/2
    2×atan(2.46447968296184)-π/2
    2×1.18532988297924-π/2
    2.37065976595847-1.57079632675     		φ = 0.79986344
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.07976700} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 4.570312°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.79986344 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 45.828799°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 4200 KachelY 2920 0.07976700 0.79986344 4.570312 45.828799
    Oben rechts KachelX + 1 4201 KachelY 2920 0.08053399 0.79986344 4.614258 45.828799
    Unten links KachelX 4200 KachelY + 1 2921 0.07976700 0.79932885 4.570312 45.798170
    Unten rechts KachelX + 1 4201 KachelY + 1 2921 0.08053399 0.79932885 4.614258 45.798170
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.79986344-0.79932885) × R
    0.000534590000000001 × 6371000     		dl = 3405.87289000001m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.79986344-0.79932885) × R
    0.000534590000000001 × 6371000     		dr = 3405.87289000001m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.07976700-0.08053399) × cos(0.79986344) × R
    0.000766989999999995 × 0.69680466499832 × 6371000     		do = 3404.93131995497m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.07976700-0.08053399) × cos(0.79932885) × R
    0.000766989999999995 × 0.69718800593834 × 6371000     		du = 3406.80451288616m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.79986344)-sin(0.79932885))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.69680466499832-0.69718800593834)×R²
    abs(0.08053399-0.07976700)×0.000383340940019683×R²
    0.000766989999999995×0.000383340940019683×6371000²
    0.000766989999999995×0.000383340940019683×40589641000000     		ar = 11599953.4797177m²