Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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13 / 4210 / 2706
↖ ↑ ↗
← N 51.998411°
E  5.009765°		 ← 3 008.57 m → N 51.998411°
E  5.053711°		 →
↑
3 009.47 m
↓
↑
3 009.47 m
↓
N 51.971346°
E  5.009765°		 ← 3 010.39 m →
9 056 941 m²		 N 51.971346°
E  5.053711°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 13 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 4210 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 2706 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.51397705078125 y=0.33038330078125 und der Vergrößerungsstufe zoom=13 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.51397705078125 × 213)
    floor (0.51397705078125 × 8192)
    floor (4210.5)     		tx = 4210
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.33038330078125 × 213)
    floor (0.33038330078125 × 8192)
    floor (2706.5)     		ty = 2706
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 13 / 4210 / 2706 ti = "13/4210/2706"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/13/4210/2706.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 4210 ÷ 213
    4210 ÷ 8192     		x = 0.513916015625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 2706 ÷ 213
    2706 ÷ 8192     		y = 0.330322265625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.513916015625 × 2 - 1) × π
    0.02783203125 × 3.1415926535     		Λ = 0.08743690
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.330322265625 × 2 - 1) × π
    0.33935546875 × 3.1415926535     		Φ = 1.06611664755005
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.08743690} λ = 0.08743690}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.06611664755005))-π/2
    2×atan(2.90408000800823)-π/2
    2×1.23916989687603-π/2
    2.47833979375205-1.57079632675     		φ = 0.90754347
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.08743690} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 5.009765°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.90754347 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 51.998411°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 4210 KachelY 2706 0.08743690 0.90754347 5.009765 51.998411
    Oben rechts KachelX + 1 4211 KachelY 2706 0.08820390 0.90754347 5.053711 51.998411
    Unten links KachelX 4210 KachelY + 1 2707 0.08743690 0.90707110 5.009765 51.971346
    Unten rechts KachelX + 1 4211 KachelY + 1 2707 0.08820390 0.90707110 5.053711 51.971346
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.90754347-0.90707110) × R
    0.00047237 × 6371000     		dl = 3009.46927m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.90754347-0.90707110) × R
    0.00047237 × 6371000     		dr = 3009.46927m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.08743690-0.08820390) × cos(0.90754347) × R
    0.000767000000000004 × 0.615683335324272 × 6371000     		do = 3008.57171201218m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.08743690-0.08820390) × cos(0.90707110) × R
    0.000767000000000004 × 0.616055491192557 × 6371000     		du = 3010.39027287544m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.90754347)-sin(0.90707110))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.615683335324272-0.616055491192557)×R²
    abs(0.08820390-0.08743690)×0.000372155868284763×R²
    0.000767000000000004×0.000372155868284763×6371000²
    0.000767000000000004×0.000372155868284763×40589641000000     		ar = 9056940.7338151m²