Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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13 / 4251 / 2737
↖ ↑ ↗
← N 51.151786°
E  6.811523°		 ← 3 065.10 m → N 51.151786°
E  6.855469°		 →
↑
3 066.04 m
↓
↑
3 066.04 m
↓
N 51.124213°
E  6.811523°		 ← 3 066.93 m →
9 400 534 m²		 N 51.124213°
E  6.855469°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 13 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 4251 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 2737 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.51898193359375 y=0.33416748046875 und der Vergrößerungsstufe zoom=13 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.51898193359375 × 213)
    floor (0.51898193359375 × 8192)
    floor (4251.5)     		tx = 4251
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.33416748046875 × 213)
    floor (0.33416748046875 × 8192)
    floor (2737.5)     		ty = 2737
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 13 / 4251 / 2737 ti = "13/4251/2737"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/13/4251/2737.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 4251 ÷ 213
    4251 ÷ 8192     		x = 0.5189208984375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 2737 ÷ 213
    2737 ÷ 8192     		y = 0.3341064453125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.5189208984375 × 2 - 1) × π
    0.037841796875 × 3.1415926535     		Λ = 0.11888351
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.3341064453125 × 2 - 1) × π
    0.331787109375 × 3.1415926535     		Φ = 1.0423399453385
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.11888351} λ = 0.11888351}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.0423399453385))-π/2
    2×atan(2.83584497902923)-π/2
    2×1.23178170626102-π/2
    2.46356341252204-1.57079632675     		φ = 0.89276709
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.11888351} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 6.811523°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.89276709 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 51.151786°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 4251 KachelY 2737 0.11888351 0.89276709 6.811523 51.151786
    Oben rechts KachelX + 1 4252 KachelY 2737 0.11965050 0.89276709 6.855469 51.151786
    Unten links KachelX 4251 KachelY + 1 2738 0.11888351 0.89228584 6.811523 51.124213
    Unten rechts KachelX + 1 4252 KachelY + 1 2738 0.11965050 0.89228584 6.855469 51.124213
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.89276709-0.89228584) × R
    0.000481249999999989 × 6371000     		dl = 3066.04374999993m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.89276709-0.89228584) × R
    0.000481249999999989 × 6371000     		dr = 3066.04374999993m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.11888351-0.11965050) × cos(0.89276709) × R
    0.000766990000000009 × 0.627259392220409 × 6371000     		do = 3065.09881117454m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.11888351-0.11965050) × cos(0.89228584) × R
    0.000766990000000009 × 0.627634122078673 × 6371000     		du = 3066.92992611251m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.89276709)-sin(0.89228584))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.627259392220409-0.627634122078673)×R²
    abs(0.11965050-0.11888351)×0.000374729858264145×R²
    0.000766990000000009×0.000374729858264145×6371000²
    0.000766990000000009×0.000374729858264145×40589641000000     		ar = 9400534.37382282m²