Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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13 / 4255 / 2657
↖ ↑ ↗
← N 53.304621°
E  6.987305°		 ← 2 919.98 m → N 53.304621°
E  7.031250°		 →
↑
2 920.85 m
↓
↑
2 920.85 m
↓
N 53.278353°
E  6.987305°		 ← 2 921.77 m →
8 531 429 m²		 N 53.278353°
E  7.031250°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 13 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 4255 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 2657 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.51947021484375 y=0.32440185546875 und der Vergrößerungsstufe zoom=13 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.51947021484375 × 213)
    floor (0.51947021484375 × 8192)
    floor (4255.5)     		tx = 4255
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.32440185546875 × 213)
    floor (0.32440185546875 × 8192)
    floor (2657.5)     		ty = 2657
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 13 / 4255 / 2657 ti = "13/4255/2657"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/13/4255/2657.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 4255 ÷ 213
    4255 ÷ 8192     		x = 0.5194091796875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 2657 ÷ 213
    2657 ÷ 8192     		y = 0.3243408203125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.5194091796875 × 2 - 1) × π
    0.038818359375 × 3.1415926535     		Λ = 0.12195147
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.3243408203125 × 2 - 1) × π
    0.351318359375 × 3.1415926535     		Φ = 1.10369917685217
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.12195147} λ = 0.12195147}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.10369917685217))-π/2
    2×atan(3.01529954509833)-π/2
    2×1.25056873553227-π/2
    2.50113747106455-1.57079632675     		φ = 0.93034114
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.12195147} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 6.987305°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.93034114 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 53.304621°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 4255 KachelY 2657 0.12195147 0.93034114 6.987305 53.304621
    Oben rechts KachelX + 1 4256 KachelY 2657 0.12271846 0.93034114 7.031250 53.304621
    Unten links KachelX 4255 KachelY + 1 2658 0.12195147 0.92988268 6.987305 53.278353
    Unten rechts KachelX + 1 4256 KachelY + 1 2658 0.12271846 0.92988268 7.031250 53.278353
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.93034114-0.92988268) × R
    0.000458460000000049 × 6371000     		dl = 2920.84866000031m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.93034114-0.92988268) × R
    0.000458460000000049 × 6371000     		dr = 2920.84866000031m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.12195147-0.12271846) × cos(0.93034114) × R
    0.000766989999999995 × 0.597560482879056 × 6371000     		do = 2919.97528995765m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.12195147-0.12271846) × cos(0.92988268) × R
    0.000766989999999995 × 0.597928024224259 × 6371000     		du = 2921.77127827478m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.93034114)-sin(0.92988268))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.597560482879056-0.597928024224259)×R²
    abs(0.12271846-0.12195147)×0.000367541345202338×R²
    0.000766989999999995×0.000367541345202338×6371000²
    0.000766989999999995×0.000367541345202338×40589641000000     		ar = 8531428.96737515m²