Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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13 / 4258 / 2742
↖ ↑ ↗
← N 51.013755°
E  7.119140°		 ← 3 074.26 m → N 51.013755°
E  7.163086°		 →
↑
3 075.15 m
↓
↑
3 075.15 m
↓
N 50.986099°
E  7.119140°		 ← 3 076.09 m →
9 456 637 m²		 N 50.986099°
E  7.163086°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 13 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 4258 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 2742 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.51983642578125 y=0.33477783203125 und der Vergrößerungsstufe zoom=13 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.51983642578125 × 213)
    floor (0.51983642578125 × 8192)
    floor (4258.5)     		tx = 4258
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.33477783203125 × 213)
    floor (0.33477783203125 × 8192)
    floor (2742.5)     		ty = 2742
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 13 / 4258 / 2742 ti = "13/4258/2742"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/13/4258/2742.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 4258 ÷ 213
    4258 ÷ 8192     		x = 0.519775390625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 2742 ÷ 213
    2742 ÷ 8192     		y = 0.334716796875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.519775390625 × 2 - 1) × π
    0.03955078125 × 3.1415926535     		Λ = 0.12425244
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.334716796875 × 2 - 1) × π
    0.33056640625 × 3.1415926535     		Φ = 1.0385049933689
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.12425244} λ = 0.12425244}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.0385049933689))-π/2
    2×atan(2.82499047629269)-π/2
    2×1.23057715467437-π/2
    2.46115430934875-1.57079632675     		φ = 0.89035798
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.12425244} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 7.119140°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.89035798 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 51.013755°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 4258 KachelY 2742 0.12425244 0.89035798 7.119140 51.013755
    Oben rechts KachelX + 1 4259 KachelY 2742 0.12501943 0.89035798 7.163086 51.013755
    Unten links KachelX 4258 KachelY + 1 2743 0.12425244 0.88987530 7.119140 50.986099
    Unten rechts KachelX + 1 4259 KachelY + 1 2743 0.12501943 0.88987530 7.163086 50.986099
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.89035798-0.88987530) × R
    0.000482679999999958 × 6371000     		dl = 3075.15427999973m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.89035798-0.88987530) × R
    0.000482679999999958 × 6371000     		dr = 3075.15427999973m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.12425244-0.12501943) × cos(0.89035798) × R
    0.000766989999999981 × 0.629133810105984 × 6371000     		do = 3074.25814159495m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.12425244-0.12501943) × cos(0.88987530) × R
    0.000766989999999981 × 0.629508922526655 × 6371000     		du = 3076.09112592156m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.89035798)-sin(0.88987530))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.629133810105984-0.629508922526655)×R²
    abs(0.12501943-0.12425244)×0.000375112420671453×R²
    0.000766989999999981×0.000375112420671453×6371000²
    0.000766989999999981×0.000375112420671453×40589641000000     		ar = 9456636.62035065m²