Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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13 / 4271 / 2767
↖ ↑ ↗
← N 50.317408°
E  7.690430°		 ← 3 120.19 m → N 50.317408°
E  7.734375°		 →
↑
3 121.09 m
↓
↑
3 121.09 m
↓
N 50.289339°
E  7.690430°		 ← 3 122.03 m →
9 741 273 m²		 N 50.289339°
E  7.734375°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 13 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 4271 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 2767 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.52142333984375 y=0.33782958984375 und der Vergrößerungsstufe zoom=13 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.52142333984375 × 213)
    floor (0.52142333984375 × 8192)
    floor (4271.5)     		tx = 4271
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.33782958984375 × 213)
    floor (0.33782958984375 × 8192)
    floor (2767.5)     		ty = 2767
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 13 / 4271 / 2767 ti = "13/4271/2767"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/13/4271/2767.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 4271 ÷ 213
    4271 ÷ 8192     		x = 0.5213623046875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 2767 ÷ 213
    2767 ÷ 8192     		y = 0.3377685546875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.5213623046875 × 2 - 1) × π
    0.042724609375 × 3.1415926535     		Λ = 0.13422332
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.3377685546875 × 2 - 1) × π
    0.324462890625 × 3.1415926535     		Φ = 1.01933023352087
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.13422332} λ = 0.13422332}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.01933023352087))-π/2
    2×atan(2.77133799294221)-π/2
    2×1.2245003847056-π/2
    2.4490007694112-1.57079632675     		φ = 0.87820444
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.13422332} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 7.690430°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.87820444 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 50.317408°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 4271 KachelY 2767 0.13422332 0.87820444 7.690430 50.317408
    Oben rechts KachelX + 1 4272 KachelY 2767 0.13499031 0.87820444 7.734375 50.317408
    Unten links KachelX 4271 KachelY + 1 2768 0.13422332 0.87771455 7.690430 50.289339
    Unten rechts KachelX + 1 4272 KachelY + 1 2768 0.13499031 0.87771455 7.734375 50.289339
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.87820444-0.87771455) × R
    0.000489889999999993 × 6371000     		dl = 3121.08918999995m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.87820444-0.87771455) × R
    0.000489889999999993 × 6371000     		dr = 3121.08918999995m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.13422332-0.13499031) × cos(0.87820444) × R
    0.000766989999999995 × 0.638534024257602 × 6371000     		do = 3120.19222497145m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.13422332-0.13499031) × cos(0.87771455) × R
    0.000766989999999995 × 0.638910963826672 × 6371000     		du = 3122.03413764645m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.87820444)-sin(0.87771455))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.638534024257602-0.638910963826672)×R²
    abs(0.13499031-0.13422332)×0.000376939569070367×R²
    0.000766989999999995×0.000376939569070367×6371000²
    0.000766989999999995×0.000376939569070367×40589641000000     		ar = 9741272.80576885m²