Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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13 / 4273 / 2769
↖ ↑ ↗
← N 50.261254°
E  7.778320°		 ← 3 123.88 m → N 50.261254°
E  7.822266°		 →
↑
3 124.85 m
↓
↑
3 124.85 m
↓
N 50.233152°
E  7.778320°		 ← 3 125.72 m →
9 764 518 m²		 N 50.233152°
E  7.822266°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 13 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 4273 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 2769 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.52166748046875 y=0.33807373046875 und der Vergrößerungsstufe zoom=13 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.52166748046875 × 213)
    floor (0.52166748046875 × 8192)
    floor (4273.5)     		tx = 4273
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.33807373046875 × 213)
    floor (0.33807373046875 × 8192)
    floor (2769.5)     		ty = 2769
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 13 / 4273 / 2769 ti = "13/4273/2769"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/13/4273/2769.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 4273 ÷ 213
    4273 ÷ 8192     		x = 0.5216064453125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 2769 ÷ 213
    2769 ÷ 8192     		y = 0.3380126953125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.5216064453125 × 2 - 1) × π
    0.043212890625 × 3.1415926535     		Λ = 0.13575730
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.3380126953125 × 2 - 1) × π
    0.323974609375 × 3.1415926535     		Φ = 1.01779625273303
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.13575730} λ = 0.13575730}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.01779625273303))-π/2
    2×atan(2.76709007265146)-π/2
    2×1.22401034612413-π/2
    2.44802069224825-1.57079632675     		φ = 0.87722437
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.13575730} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 7.778320°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.87722437 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 50.261254°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 4273 KachelY 2769 0.13575730 0.87722437 7.778320 50.261254
    Oben rechts KachelX + 1 4274 KachelY 2769 0.13652429 0.87722437 7.822266 50.261254
    Unten links KachelX 4273 KachelY + 1 2770 0.13575730 0.87673389 7.778320 50.233152
    Unten rechts KachelX + 1 4274 KachelY + 1 2770 0.13652429 0.87673389 7.822266 50.233152
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.87722437-0.87673389) × R
    0.00049047999999996 × 6371000     		dl = 3124.84807999974m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.87722437-0.87673389) × R
    0.00049047999999996 × 6371000     		dr = 3124.84807999974m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.13575730-0.13652429) × cos(0.87722437) × R
    0.000766989999999995 × 0.639287973062668 × 6371000     		do = 3123.87639074841m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.13575730-0.13652429) × cos(0.87673389) × R
    0.000766989999999995 × 0.639665059288992 × 6371000     		du = 3125.71902006309m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.87722437)-sin(0.87673389))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.639287973062668-0.639665059288992)×R²
    abs(0.13652429-0.13575730)×0.000377086226323597×R²
    0.000766989999999995×0.000377086226323597×6371000²
    0.000766989999999995×0.000377086226323597×40589641000000     		ar = 9764518.30587693m²