Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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13 / 4288 / 3007
↖ ↑ ↗
← N 43.100983°
E  8.437500°		 ← 3 567.88 m → N 43.100983°
E  8.481446°		 →
↑
3 568.78 m
↓
↑
3 568.78 m
↓
N 43.068888°
E  8.437500°		 ← 3 569.75 m →
12 736 298 m²		 N 43.068888°
E  8.481446°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 13 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 4288 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 3007 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.52349853515625 y=0.36712646484375 und der Vergrößerungsstufe zoom=13 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.52349853515625 × 213)
    floor (0.52349853515625 × 8192)
    floor (4288.5)     		tx = 4288
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.36712646484375 × 213)
    floor (0.36712646484375 × 8192)
    floor (3007.5)     		ty = 3007
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 13 / 4288 / 3007 ti = "13/4288/3007"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/13/4288/3007.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 4288 ÷ 213
    4288 ÷ 8192     		x = 0.5234375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 3007 ÷ 213
    3007 ÷ 8192     		y = 0.3670654296875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.5234375 × 2 - 1) × π
    0.046875 × 3.1415926535     		Λ = 0.14726216
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.3670654296875 × 2 - 1) × π
    0.265869140625 × 3.1415926535     		Φ = 0.835252538979858
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.14726216} λ = 0.14726216}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.835252538979858))-π/2
    2×atan(2.30539617717755)-π/2
    2×1.16152519440633-π/2
    2.32305038881265-1.57079632675     		φ = 0.75225406
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.14726216} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 8.437500°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.75225406 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 43.100983°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 4288 KachelY 3007 0.14726216 0.75225406 8.437500 43.100983
    Oben rechts KachelX + 1 4289 KachelY 3007 0.14802915 0.75225406 8.481446 43.100983
    Unten links KachelX 4288 KachelY + 1 3008 0.14726216 0.75169390 8.437500 43.068888
    Unten rechts KachelX + 1 4289 KachelY + 1 3008 0.14802915 0.75169390 8.481446 43.068888
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.75225406-0.75169390) × R
    0.000560159999999921 × 6371000     		dl = 3568.77935999949m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.75225406-0.75169390) × R
    0.000560159999999921 × 6371000     		dr = 3568.77935999949m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.14726216-0.14802915) × cos(0.75225406) × R
    0.000766989999999995 × 0.730150556734798 × 6371000     		do = 3567.87579617433m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.14726216-0.14802915) × cos(0.75169390) × R
    0.000766989999999995 × 0.730533191814215 × 6371000     		du = 3569.74553992242m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.75225406)-sin(0.75169390))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.730150556734798-0.730533191814215)×R²
    abs(0.14802915-0.14726216)×0.000382635079416938×R²
    0.000766989999999995×0.000382635079416938×6371000²
    0.000766989999999995×0.000382635079416938×40589641000000     		ar = 12736298.1849075m²