Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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13 / 4322 / 2658
↖ ↑ ↗
← N 53.278353°
E  9.931641°		 ← 2 921.77 m → N 53.278353°
E  9.975586°		 →
↑
2 922.70 m
↓
↑
2 922.70 m
↓
N 53.252069°
E  9.931641°		 ← 2 923.57 m →
8 542 075 m²		 N 53.252069°
E  9.975586°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 13 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 4322 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 2658 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.52764892578125 y=0.32452392578125 und der Vergrößerungsstufe zoom=13 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.52764892578125 × 213)
    floor (0.52764892578125 × 8192)
    floor (4322.5)     		tx = 4322
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.32452392578125 × 213)
    floor (0.32452392578125 × 8192)
    floor (2658.5)     		ty = 2658
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 13 / 4322 / 2658 ti = "13/4322/2658"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/13/4322/2658.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 4322 ÷ 213
    4322 ÷ 8192     		x = 0.527587890625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 2658 ÷ 213
    2658 ÷ 8192     		y = 0.324462890625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.527587890625 × 2 - 1) × π
    0.05517578125 × 3.1415926535     		Λ = 0.17333983
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.324462890625 × 2 - 1) × π
    0.35107421875 × 3.1415926535     		Φ = 1.10293218645825
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.17333983} λ = 0.17333983}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.10293218645825))-π/2
    2×atan(3.01298772599729)-π/2
    2×1.25033950348592-π/2
    2.50067900697183-1.57079632675     		φ = 0.92988268
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.17333983} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 9.931641°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.92988268 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 53.278353°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 4322 KachelY 2658 0.17333983 0.92988268 9.931641 53.278353
    Oben rechts KachelX + 1 4323 KachelY 2658 0.17410682 0.92988268 9.975586 53.278353
    Unten links KachelX 4322 KachelY + 1 2659 0.17333983 0.92942393 9.931641 53.252069
    Unten rechts KachelX + 1 4323 KachelY + 1 2659 0.17410682 0.92942393 9.975586 53.252069
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.92988268-0.92942393) × R
    0.000458749999999952 × 6371000     		dl = 2922.6962499997m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.92988268-0.92942393) × R
    0.000458749999999952 × 6371000     		dr = 2922.6962499997m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.17333983-0.17410682) × cos(0.92988268) × R
    0.000766989999999995 × 0.597928024224259 × 6371000     		do = 2921.77127827478m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.17333983-0.17410682) × cos(0.92942393) × R
    0.000766989999999995 × 0.598295672263515 × 6371000     		du = 2923.56778795169m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.92988268)-sin(0.92942393))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.597928024224259-0.598295672263515)×R²
    abs(0.17410682-0.17333983)×0.00036764803925593×R²
    0.000766989999999995×0.00036764803925593×6371000²
    0.000766989999999995×0.00036764803925593×40589641000000     		ar = 8542075.4342246m²