Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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13 / 4416 / 2752
↖ ↑ ↗
← N 50.736455°
E 14.062500°		 ← 3 092.60 m → N 50.736455°
E 14.106446°		 →
↑
3 093.50 m
↓
↑
3 093.50 m
↓
N 50.708634°
E 14.062500°		 ← 3 094.44 m →
9 569 823 m²		 N 50.708634°
E 14.106446°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 13 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 4416 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 2752 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.53912353515625 y=0.33599853515625 und der Vergrößerungsstufe zoom=13 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.53912353515625 × 213)
    floor (0.53912353515625 × 8192)
    floor (4416.5)     		tx = 4416
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.33599853515625 × 213)
    floor (0.33599853515625 × 8192)
    floor (2752.5)     		ty = 2752
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 13 / 4416 / 2752 ti = "13/4416/2752"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/13/4416/2752.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 4416 ÷ 213
    4416 ÷ 8192     		x = 0.5390625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 2752 ÷ 213
    2752 ÷ 8192     		y = 0.3359375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.5390625 × 2 - 1) × π
    0.078125 × 3.1415926535     		Λ = 0.24543693
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.3359375 × 2 - 1) × π
    0.328125 × 3.1415926535     		Φ = 1.03083508942969
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.24543693} λ = 0.24543693}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.03083508942969))-π/2
    2×atan(2.80340595213717)-π/2
    2×1.22815725985374-π/2
    2.45631451970748-1.57079632675     		φ = 0.88551819
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.24543693} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 14.062500°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.88551819 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 50.736455°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 4416 KachelY 2752 0.24543693 0.88551819 14.062500 50.736455
    Oben rechts KachelX + 1 4417 KachelY 2752 0.24620392 0.88551819 14.106446 50.736455
    Unten links KachelX 4416 KachelY + 1 2753 0.24543693 0.88503263 14.062500 50.708634
    Unten rechts KachelX + 1 4417 KachelY + 1 2753 0.24620392 0.88503263 14.106446 50.708634
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.88551819-0.88503263) × R
    0.000485559999999996 × 6371000     		dl = 3093.50275999997m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.88551819-0.88503263) × R
    0.000485559999999996 × 6371000     		dr = 3093.50275999997m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.24543693-0.24620392) × cos(0.88551819) × R
    0.000766989999999995 × 0.632888381473458 × 6371000     		do = 3092.60482938899m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.24543693-0.24620392) × cos(0.88503263) × R
    0.000766989999999995 × 0.633264248305253 × 6371000     		du = 3094.44150014049m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.88551819)-sin(0.88503263))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.632888381473458-0.633264248305253)×R²
    abs(0.24620392-0.24543693)×0.00037586683179458×R²
    0.000766989999999995×0.00037586683179458×6371000²
    0.000766989999999995×0.00037586683179458×40589641000000     		ar = 9569822.63634337m²