Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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13 / 4418 / 2754
↖ ↑ ↗
← N 50.680797°
E 14.150391°		 ← 3 096.28 m → N 50.680797°
E 14.194336°		 →
↑
3 097.20 m
↓
↑
3 097.20 m
↓
N 50.652944°
E 14.150391°		 ← 3 098.12 m →
9 592 633 m²		 N 50.652944°
E 14.194336°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 13 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 4418 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 2754 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.53936767578125 y=0.33624267578125 und der Vergrößerungsstufe zoom=13 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.53936767578125 × 213)
    floor (0.53936767578125 × 8192)
    floor (4418.5)     		tx = 4418
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.33624267578125 × 213)
    floor (0.33624267578125 × 8192)
    floor (2754.5)     		ty = 2754
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 13 / 4418 / 2754 ti = "13/4418/2754"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/13/4418/2754.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 4418 ÷ 213
    4418 ÷ 8192     		x = 0.539306640625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 2754 ÷ 213
    2754 ÷ 8192     		y = 0.336181640625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.539306640625 × 2 - 1) × π
    0.07861328125 × 3.1415926535     		Λ = 0.24697091
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.336181640625 × 2 - 1) × π
    0.32763671875 × 3.1415926535     		Φ = 1.02930110864185
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.24697091} λ = 0.24697091}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.02930110864185))-π/2
    2×atan(2.79910887792333)-π/2
    2×1.22767155224873-π/2
    2.45534310449746-1.57079632675     		φ = 0.88454678
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.24697091} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 14.150391°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.88454678 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 50.680797°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 4418 KachelY 2754 0.24697091 0.88454678 14.150391 50.680797
    Oben rechts KachelX + 1 4419 KachelY 2754 0.24773790 0.88454678 14.194336 50.680797
    Unten links KachelX 4418 KachelY + 1 2755 0.24697091 0.88406064 14.150391 50.652944
    Unten rechts KachelX + 1 4419 KachelY + 1 2755 0.24773790 0.88406064 14.194336 50.652944
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.88454678-0.88406064) × R
    0.000486140000000024 × 6371000     		dl = 3097.19794000015m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.88454678-0.88406064) × R
    0.000486140000000024 × 6371000     		dr = 3097.19794000015m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.24697091-0.24773790) × cos(0.88454678) × R
    0.000766990000000023 × 0.633640190185394 × 6371000     		do = 3096.27853761534m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.24697091-0.24773790) × cos(0.88406064) × R
    0.000766990000000023 × 0.634016206757387 × 6371000     		du = 3098.11594007132m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.88454678)-sin(0.88406064))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.633640190185394-0.634016206757387)×R²
    abs(0.24773790-0.24697091)×0.000376016571993154×R²
    0.000766990000000023×0.000376016571993154×6371000²
    0.000766990000000023×0.000376016571993154×40589641000000     		ar = 9592633.0968396m²