Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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13 / 4456 / 2792
↖ ↑ ↗
← N 49.610710°
E 15.820312°		 ← 3 166.34 m → N 49.610710°
E 15.864258°		 →
↑
3 167.28 m
↓
↑
3 167.28 m
↓
N 49.582226°
E 15.820312°		 ← 3 168.19 m →
10 031 605 m²		 N 49.582226°
E 15.864258°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 13 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 4456 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 2792 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.54400634765625 y=0.34088134765625 und der Vergrößerungsstufe zoom=13 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.54400634765625 × 213)
    floor (0.54400634765625 × 8192)
    floor (4456.5)     		tx = 4456
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.34088134765625 × 213)
    floor (0.34088134765625 × 8192)
    floor (2792.5)     		ty = 2792
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 13 / 4456 / 2792 ti = "13/4456/2792"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/13/4456/2792.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 4456 ÷ 213
    4456 ÷ 8192     		x = 0.5439453125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 2792 ÷ 213
    2792 ÷ 8192     		y = 0.3408203125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.5439453125 × 2 - 1) × π
    0.087890625 × 3.1415926535     		Λ = 0.27611654
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.3408203125 × 2 - 1) × π
    0.318359375 × 3.1415926535     		Φ = 1.00015547367285
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.27611654} λ = 0.27611654}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.00015547367285))-π/2
    2×atan(2.7187044825737)-π/2
    2×1.21833327972382-π/2
    2.43666655944764-1.57079632675     		φ = 0.86587023
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.27611654} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 15.820312°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.86587023 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 49.610710°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 4456 KachelY 2792 0.27611654 0.86587023 15.820312 49.610710
    Oben rechts KachelX + 1 4457 KachelY 2792 0.27688353 0.86587023 15.864258 49.610710
    Unten links KachelX 4456 KachelY + 1 2793 0.27611654 0.86537309 15.820312 49.582226
    Unten rechts KachelX + 1 4457 KachelY + 1 2793 0.27688353 0.86537309 15.864258 49.582226
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.86587023-0.86537309) × R
    0.000497140000000007 × 6371000     		dl = 3167.27894000004m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.86587023-0.86537309) × R
    0.000497140000000007 × 6371000     		dr = 3167.27894000004m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.27611654-0.27688353) × cos(0.86587023) × R
    0.000766989999999967 × 0.647977542231262 × 6371000     		do = 3166.33791218362m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.27611654-0.27688353) × cos(0.86537309) × R
    0.000766989999999967 × 0.648356113517158 × 6371000     		du = 3168.18779823194m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.86587023)-sin(0.86537309))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.647977542231262-0.648356113517158)×R²
    abs(0.27688353-0.27611654)×0.000378571285896467×R²
    0.000766989999999967×0.000378571285896467×6371000²
    0.000766989999999967×0.000378571285896467×40589641000000     		ar = 10031605.1453531m²