Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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13 / 4560 / 2640
↖ ↑ ↗
← N 53.748711°
E 20.390625°		 ← 2 889.52 m → N 53.748711°
E 20.434570°		 →
↑
2 890.40 m
↓
↑
2 890.40 m
↓
N 53.722717°
E 20.390625°		 ← 2 891.31 m →
8 354 436 m²		 N 53.722717°
E 20.434570°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 13 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 4560 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 2640 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.55670166015625 y=0.32232666015625 und der Vergrößerungsstufe zoom=13 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.55670166015625 × 213)
    floor (0.55670166015625 × 8192)
    floor (4560.5)     		tx = 4560
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.32232666015625 × 213)
    floor (0.32232666015625 × 8192)
    floor (2640.5)     		ty = 2640
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 13 / 4560 / 2640 ti = "13/4560/2640"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/13/4560/2640.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 4560 ÷ 213
    4560 ÷ 8192     		x = 0.556640625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 2640 ÷ 213
    2640 ÷ 8192     		y = 0.322265625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.556640625 × 2 - 1) × π
    0.11328125 × 3.1415926535     		Λ = 0.35588354
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.322265625 × 2 - 1) × π
    0.35546875 × 3.1415926535     		Φ = 1.11673801354883
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.35588354} λ = 0.35588354}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.11673801354883))-π/2
    2×atan(3.05487297856743)-π/2
    2×1.25444414944207-π/2
    2.50888829888413-1.57079632675     		φ = 0.93809197
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.35588354} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 20.390625°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.93809197 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 53.748711°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 4560 KachelY 2640 0.35588354 0.93809197 20.390625 53.748711
    Oben rechts KachelX + 1 4561 KachelY 2640 0.35665053 0.93809197 20.434570 53.748711
    Unten links KachelX 4560 KachelY + 1 2641 0.35588354 0.93763829 20.390625 53.722717
    Unten rechts KachelX + 1 4561 KachelY + 1 2641 0.35665053 0.93763829 20.434570 53.722717
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.93809197-0.93763829) × R
    0.000453680000000012 × 6371000     		dl = 2890.39528000008m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.93809197-0.93763829) × R
    0.000453680000000012 × 6371000     		dr = 2890.39528000008m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.35588354-0.35665053) × cos(0.93809197) × R
    0.000766990000000023 × 0.591327795594016 × 6371000     		do = 2889.51930536074m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.35588354-0.35665053) × cos(0.93763829) × R
    0.000766990000000023 × 0.591693596477495 × 6371000     		du = 2891.30678892333m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.93809197)-sin(0.93763829))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.591327795594016-0.591693596477495)×R²
    abs(0.35665053-0.35588354)×0.000365800883478595×R²
    0.000766990000000023×0.000365800883478595×6371000²
    0.000766990000000023×0.000365800883478595×40589641000000     		ar = 8354436.372006m²