Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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10 / 518 / 366
↖ ↑ ↗
← N 45.583290°
E  2.109375°		 ← 27.359 km → N 45.583290°
E  2.460937°		 →
↑
27.419 km
↓
↑
27.419 km
↓
N 45.336702°
E  2.109375°		 ← 27.479 km →
751.820 km²		 N 45.336702°
E  2.460937°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 10 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 518 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 366 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.50634765625 y=0.35791015625 und der Vergrößerungsstufe zoom=10 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.50634765625 × 210)
    floor (0.50634765625 × 1024)
    floor (518.5)     		tx = 518
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.35791015625 × 210)
    floor (0.35791015625 × 1024)
    floor (366.5)     		ty = 366
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 10 / 518 / 366 ti = "10/518/366"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/10/518/366.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 518 ÷ 210
    518 ÷ 1024     		x = 0.505859375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 366 ÷ 210
    366 ÷ 1024     		y = 0.357421875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.505859375 × 2 - 1) × π
    0.01171875 × 3.1415926535     		Λ = 0.03681554
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.357421875 × 2 - 1) × π
    0.28515625 × 3.1415926535     		Φ = 0.895844780099609
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.03681554} λ = 0.03681554}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.895844780099609))-π/2
    2×atan(2.44940412355505)-π/2
    2×1.18318740845494-π/2
    2.36637481690989-1.57079632675     		φ = 0.79557849
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.03681554} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 2.109375°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.79557849 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 45.583290°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 518 KachelY 366 0.03681554 0.79557849 2.109375 45.583290
    Oben rechts KachelX + 1 519 KachelY 366 0.04295146 0.79557849 2.460937 45.583290
    Unten links KachelX 518 KachelY + 1 367 0.03681554 0.79127472 2.109375 45.336702
    Unten rechts KachelX + 1 519 KachelY + 1 367 0.04295146 0.79127472 2.460937 45.336702
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.79557849-0.79127472) × R
    0.00430377000000004 × 6371000     		dl = 27419.3186700003m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.79557849-0.79127472) × R
    0.00430377000000004 × 6371000     		dr = 27419.3186700003m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.03681554-0.04295146) × cos(0.79557849) × R
    0.00613592 × 0.699871685931871 × 6371000     		do = 27359.3463773366m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.03681554-0.04295146) × cos(0.79127472) × R
    0.00613592 × 0.702939242531099 × 6371000     		du = 27479.2631352471m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.79557849)-sin(0.79127472))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.699871685931871-0.702939242531099)×R²
    abs(0.04295146-0.03681554)×0.00306755659922797×R²
    0.00613592×0.00306755659922797×6371000²
    0.00613592×0.00306755659922797×40589641000000     		ar = 751819815.284199m²