Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
10 / 519 / 361
↖ ↑ ↗
← N 46.800060°
E  2.460937°		 ← 26.760 km → N 46.800060°
E  2.812500°		 →
↑
26.820 km
↓
↑
26.820 km
↓
N 46.558860°
E  2.460937°		 ← 26.880 km →
719.321 km²		 N 46.558860°
E  2.812500°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 10 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 519 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 361 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.50732421875 y=0.35302734375 und der Vergrößerungsstufe zoom=10 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.50732421875 × 210)
    floor (0.50732421875 × 1024)
    floor (519.5)     		tx = 519
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.35302734375 × 210)
    floor (0.35302734375 × 1024)
    floor (361.5)     		ty = 361
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 10 / 519 / 361 ti = "10/519/361"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/10/519/361.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 519 ÷ 210
    519 ÷ 1024     		x = 0.5068359375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 361 ÷ 210
    361 ÷ 1024     		y = 0.3525390625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.5068359375 × 2 - 1) × π
    0.013671875 × 3.1415926535     		Λ = 0.04295146
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.3525390625 × 2 - 1) × π
    0.294921875 × 3.1415926535     		Φ = 0.926524395856445
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.04295146} λ = 0.04295146}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.926524395856445))-π/2
    2×atan(2.52571551751115)-π/2
    2×1.19380572712614-π/2
    2.38761145425228-1.57079632675     		φ = 0.81681513
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.04295146} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 2.460937°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.81681513 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 46.800060°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 519 KachelY 361 0.04295146 0.81681513 2.460937 46.800060
    Oben rechts KachelX + 1 520 KachelY 361 0.04908739 0.81681513 2.812500 46.800060
    Unten links KachelX 519 KachelY + 1 362 0.04295146 0.81260541 2.460937 46.558860
    Unten rechts KachelX + 1 520 KachelY + 1 362 0.04908739 0.81260541 2.812500 46.558860
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.81681513-0.81260541) × R
    0.00420971999999997 × 6371000     		dl = 26820.1261199998m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.81681513-0.81260541) × R
    0.00420971999999997 × 6371000     		dr = 26820.1261199998m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.04295146-0.04908739) × cos(0.81681513) × R
    0.00613593 × 0.684546347752357 × 6371000     		do = 26760.292692335m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.04295146-0.04908739) × cos(0.81260541) × R
    0.00613593 × 0.687609029827766 × 6371000     		du = 26880.0190907456m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.81681513)-sin(0.81260541))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.684546347752357-0.687609029827766)×R²
    abs(0.04908739-0.04295146)×0.00306268207540883×R²
    0.00613593×0.00306268207540883×6371000²
    0.00613593×0.00306268207540883×40589641000000     		ar = 719321025.871314m²