Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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10 / 523 / 349
↖ ↑ ↗
← N 49.610710°
E  3.867187°		 ← 25.331 km → N 49.610710°
E  4.218750°		 →
↑
25.390 km
↓
↑
25.390 km
↓
N 49.382373°
E  3.867187°		 ← 25.449 km →
644.650 km²		 N 49.382373°
E  4.218750°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 10 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 523 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 349 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.51123046875 y=0.34130859375 und der Vergrößerungsstufe zoom=10 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.51123046875 × 210)
    floor (0.51123046875 × 1024)
    floor (523.5)     		tx = 523
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.34130859375 × 210)
    floor (0.34130859375 × 1024)
    floor (349.5)     		ty = 349
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 10 / 523 / 349 ti = "10/523/349"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/10/523/349.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 523 ÷ 210
    523 ÷ 1024     		x = 0.5107421875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 349 ÷ 210
    349 ÷ 1024     		y = 0.3408203125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.5107421875 × 2 - 1) × π
    0.021484375 × 3.1415926535     		Λ = 0.06749515
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.3408203125 × 2 - 1) × π
    0.318359375 × 3.1415926535     		Φ = 1.00015547367285
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.06749515} λ = 0.06749515}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.00015547367285))-π/2
    2×atan(2.7187044825737)-π/2
    2×1.21833327972382-π/2
    2.43666655944764-1.57079632675     		φ = 0.86587023
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.06749515} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 3.867187°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.86587023 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 49.610710°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 523 KachelY 349 0.06749515 0.86587023 3.867187 49.610710
    Oben rechts KachelX + 1 524 KachelY 349 0.07363108 0.86587023 4.218750 49.610710
    Unten links KachelX 523 KachelY + 1 350 0.06749515 0.86188500 3.867187 49.382373
    Unten rechts KachelX + 1 524 KachelY + 1 350 0.07363108 0.86188500 4.218750 49.382373
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.86587023-0.86188500) × R
    0.00398522999999995 × 6371000     		dl = 25389.9003299997m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.86587023-0.86188500) × R
    0.00398522999999995 × 6371000     		dr = 25389.9003299997m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.06749515-0.07363108) × cos(0.86587023) × R
    0.00613593 × 0.647977542231262 × 6371000     		do = 25330.7445801192m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.06749515-0.07363108) × cos(0.86188500) × R
    0.00613593 × 0.651007776650759 × 6371000     		du = 25449.2025344395m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.86587023)-sin(0.86188500))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.647977542231262-0.651007776650759)×R²
    abs(0.07363108-0.06749515)×0.00303023441949768×R²
    0.00613593×0.00303023441949768×6371000²
    0.00613593×0.00303023441949768×40589641000000     		ar = 644649751.197942m²