Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
10 / 536 / 328
↖ ↑ ↗
← N 54.162434°
E  8.437500°		 ← 22.888 km → N 54.162434°
E  8.789063°		 →
↑
22.945 km
↓
↑
22.945 km
↓
N 53.956085°
E  8.437500°		 ← 23.002 km →
526.469 km²		 N 53.956085°
E  8.789063°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 10 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 536 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 328 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.52392578125 y=0.32080078125 und der Vergrößerungsstufe zoom=10 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.52392578125 × 210)
    floor (0.52392578125 × 1024)
    floor (536.5)     		tx = 536
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.32080078125 × 210)
    floor (0.32080078125 × 1024)
    floor (328.5)     		ty = 328
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 10 / 536 / 328 ti = "10/536/328"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/10/536/328.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 536 ÷ 210
    536 ÷ 1024     		x = 0.5234375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 328 ÷ 210
    328 ÷ 1024     		y = 0.3203125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.5234375 × 2 - 1) × π
    0.046875 × 3.1415926535     		Λ = 0.14726216
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.3203125 × 2 - 1) × π
    0.359375 × 3.1415926535     		Φ = 1.12900985985156
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.14726216} λ = 0.14726216}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.12900985985156))-π/2
    2×atan(3.09259288329347)-π/2
    2×1.2580545652064-π/2
    2.5161091304128-1.57079632675     		φ = 0.94531280
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.14726216} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 8.437500°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.94531280 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 54.162434°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 536 KachelY 328 0.14726216 0.94531280 8.437500 54.162434
    Oben rechts KachelX + 1 537 KachelY 328 0.15339808 0.94531280 8.789063 54.162434
    Unten links KachelX 536 KachelY + 1 329 0.14726216 0.94171134 8.437500 53.956085
    Unten rechts KachelX + 1 537 KachelY + 1 329 0.15339808 0.94171134 8.789063 53.956085
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.94531280-0.94171134) × R
    0.00360145999999995 × 6371000     		dl = 22944.9016599997m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.94531280-0.94171134) × R
    0.00360145999999995 × 6371000     		dr = 22944.9016599997m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.14726216-0.15339808) × cos(0.94531280) × R
    0.00613591999999999 × 0.585489326925804 × 6371000     		do = 22887.9173391164m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.14726216-0.15339808) × cos(0.94171134) × R
    0.00613591999999999 × 0.588405155574787 × 6371000     		du = 23001.9027561408m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.94531280)-sin(0.94171134))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.585489326925804-0.588405155574787)×R²
    abs(0.15339808-0.14726216)×0.00291582864898232×R²
    0.00613591999999999×0.00291582864898232×6371000²
    0.00613591999999999×0.00291582864898232×40589641000000     		ar = 526469273.688604m²