Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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10 / 539 / 349
↖ ↑ ↗
← N 49.610710°
E  9.492188°		 ← 25.331 km → N 49.610710°
E  9.843750°		 →
↑
25.390 km
↓
↑
25.390 km
↓
N 49.382373°
E  9.492188°		 ← 25.449 km →
644.649 km²		 N 49.382373°
E  9.843750°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 10 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 539 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 349 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.52685546875 y=0.34130859375 und der Vergrößerungsstufe zoom=10 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.52685546875 × 210)
    floor (0.52685546875 × 1024)
    floor (539.5)     		tx = 539
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.34130859375 × 210)
    floor (0.34130859375 × 1024)
    floor (349.5)     		ty = 349
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 10 / 539 / 349 ti = "10/539/349"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/10/539/349.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 539 ÷ 210
    539 ÷ 1024     		x = 0.5263671875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 349 ÷ 210
    349 ÷ 1024     		y = 0.3408203125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.5263671875 × 2 - 1) × π
    0.052734375 × 3.1415926535     		Λ = 0.16566993
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.3408203125 × 2 - 1) × π
    0.318359375 × 3.1415926535     		Φ = 1.00015547367285
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.16566993} λ = 0.16566993}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.00015547367285))-π/2
    2×atan(2.7187044825737)-π/2
    2×1.21833327972382-π/2
    2.43666655944764-1.57079632675     		φ = 0.86587023
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.16566993} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 9.492188°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.86587023 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 49.610710°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 539 KachelY 349 0.16566993 0.86587023 9.492188 49.610710
    Oben rechts KachelX + 1 540 KachelY 349 0.17180585 0.86587023 9.843750 49.610710
    Unten links KachelX 539 KachelY + 1 350 0.16566993 0.86188500 9.492188 49.382373
    Unten rechts KachelX + 1 540 KachelY + 1 350 0.17180585 0.86188500 9.843750 49.382373
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.86587023-0.86188500) × R
    0.00398522999999995 × 6371000     		dl = 25389.9003299997m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.86587023-0.86188500) × R
    0.00398522999999995 × 6371000     		dr = 25389.9003299997m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.16566993-0.17180585) × cos(0.86587023) × R
    0.00613592000000002 × 0.647977542231262 × 6371000     		do = 25330.7032974701m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.16566993-0.17180585) × cos(0.86188500) × R
    0.00613592000000002 × 0.651007776650759 × 6371000     		du = 25449.1610587341m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.86587023)-sin(0.86188500))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.647977542231262-0.651007776650759)×R²
    abs(0.17180585-0.16566993)×0.00303023441949768×R²
    0.00613592000000002×0.00303023441949768×6371000²
    0.00613592000000002×0.00303023441949768×40589641000000     		ar = 644648700.583365m²