Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
10 / 540 / 347
↖ ↑ ↗
← N 50.064192°
E  9.843750°		 ← 25.094 km → N 50.064192°
E 10.195312°		 →
↑
25.153 km
↓
↑
25.153 km
↓
N 49.837983°
E  9.843750°		 ← 25.212 km →
632.689 km²		 N 49.837983°
E 10.195312°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 10 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 540 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 347 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.52783203125 y=0.33935546875 und der Vergrößerungsstufe zoom=10 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.52783203125 × 210)
    floor (0.52783203125 × 1024)
    floor (540.5)     		tx = 540
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.33935546875 × 210)
    floor (0.33935546875 × 1024)
    floor (347.5)     		ty = 347
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 10 / 540 / 347 ti = "10/540/347"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/10/540/347.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 540 ÷ 210
    540 ÷ 1024     		x = 0.52734375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 347 ÷ 210
    347 ÷ 1024     		y = 0.3388671875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.52734375 × 2 - 1) × π
    0.0546875 × 3.1415926535     		Λ = 0.17180585
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.3388671875 × 2 - 1) × π
    0.322265625 × 3.1415926535     		Φ = 1.01242731997559
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.17180585} λ = 0.17180585}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.01242731997559))-π/2
    2×atan(2.75227356213295)-π/2
    2×1.22229065496538-π/2
    2.44458130993076-1.57079632675     		φ = 0.87378498
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.17180585} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 9.843750°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.87378498 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 50.064192°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 540 KachelY 347 0.17180585 0.87378498 9.843750 50.064192
    Oben rechts KachelX + 1 541 KachelY 347 0.17794177 0.87378498 10.195312 50.064192
    Unten links KachelX 540 KachelY + 1 348 0.17180585 0.86983689 9.843750 49.837983
    Unten rechts KachelX + 1 541 KachelY + 1 348 0.17794177 0.86983689 10.195312 49.837983
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.87378498-0.86983689) × R
    0.00394809000000007 × 6371000     		dl = 25153.2813900005m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.87378498-0.86983689) × R
    0.00394809000000007 × 6371000     		dr = 25153.2813900005m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.17180585-0.17794177) × cos(0.87378498) × R
    0.00613591999999999 × 0.641928965496643 × 6371000     		do = 25094.2526604479m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.17180585-0.17794177) × cos(0.86983689) × R
    0.00613591999999999 × 0.644951208354603 × 6371000     		du = 25212.3980160172m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.87378498)-sin(0.86983689))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.641928965496643-0.644951208354603)×R²
    abs(0.17794177-0.17180585)×0.00302224285795982×R²
    0.00613591999999999×0.00302224285795982×6371000²
    0.00613591999999999×0.00302224285795982×40589641000000     		ar = 632689491.959791m²