Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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10 / 567 / 343
↖ ↑ ↗
← N 50.958427°
E 19.335937°		 ← 24.623 km → N 50.958427°
E 19.687500°		 →
↑
24.682 km
↓
↑
24.682 km
↓
N 50.736455°
E 19.335937°		 ← 24.741 km →
609.209 km²		 N 50.736455°
E 19.687500°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 10 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 567 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 343 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.55419921875 y=0.33544921875 und der Vergrößerungsstufe zoom=10 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.55419921875 × 210)
    floor (0.55419921875 × 1024)
    floor (567.5)     		tx = 567
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.33544921875 × 210)
    floor (0.33544921875 × 1024)
    floor (343.5)     		ty = 343
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 10 / 567 / 343 ti = "10/567/343"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/10/567/343.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 567 ÷ 210
    567 ÷ 1024     		x = 0.5537109375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 343 ÷ 210
    343 ÷ 1024     		y = 0.3349609375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.5537109375 × 2 - 1) × π
    0.107421875 × 3.1415926535     		Λ = 0.33747577
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.3349609375 × 2 - 1) × π
    0.330078125 × 3.1415926535     		Φ = 1.03697101258105
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.33747577} λ = 0.33747577}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.03697101258105))-π/2
    2×atan(2.82066031721575)-π/2
    2×1.23009432736756-π/2
    2.46018865473512-1.57079632675     		φ = 0.88939233
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.33747577} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 19.335937°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.88939233 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 50.958427°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 567 KachelY 343 0.33747577 0.88939233 19.335937 50.958427
    Oben rechts KachelX + 1 568 KachelY 343 0.34361170 0.88939233 19.687500 50.958427
    Unten links KachelX 567 KachelY + 1 344 0.33747577 0.88551819 19.335937 50.736455
    Unten rechts KachelX + 1 568 KachelY + 1 344 0.34361170 0.88551819 19.687500 50.736455
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.88939233-0.88551819) × R
    0.00387413999999997 × 6371000     		dl = 24682.1459399998m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.88939233-0.88551819) × R
    0.00387413999999997 × 6371000     		dr = 24682.1459399998m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.33747577-0.34361170) × cos(0.88939233) × R
    0.00613593000000001 × 0.629884113524226 × 6371000     		do = 24623.4360836268m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.33747577-0.34361170) × cos(0.88551819) × R
    0.00613593000000001 × 0.632888381473458 × 6371000     		du = 24740.8789564309m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.88939233)-sin(0.88551819))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.629884113524226-0.632888381473458)×R²
    abs(0.34361170-0.33747577)×0.00300426794923181×R²
    0.00613593000000001×0.00300426794923181×6371000²
    0.00613593000000001×0.00300426794923181×40589641000000     		ar = 609209375.990235m²