Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
10 / 567 / 345
↖ ↑ ↗
← N 50.513427°
E 19.335937°		 ← 24.859 km → N 50.513427°
E 19.687500°		 →
↑
24.917 km
↓
↑
24.917 km
↓
N 50.289339°
E 19.335937°		 ← 24.976 km →
620.877 km²		 N 50.289339°
E 19.687500°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 10 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 567 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 345 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.55419921875 y=0.33740234375 und der Vergrößerungsstufe zoom=10 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.55419921875 × 210)
    floor (0.55419921875 × 1024)
    floor (567.5)     		tx = 567
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.33740234375 × 210)
    floor (0.33740234375 × 1024)
    floor (345.5)     		ty = 345
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 10 / 567 / 345 ti = "10/567/345"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/10/567/345.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 567 ÷ 210
    567 ÷ 1024     		x = 0.5537109375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 345 ÷ 210
    345 ÷ 1024     		y = 0.3369140625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.5537109375 × 2 - 1) × π
    0.107421875 × 3.1415926535     		Λ = 0.33747577
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.3369140625 × 2 - 1) × π
    0.326171875 × 3.1415926535     		Φ = 1.02469916627832
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.33747577} λ = 0.33747577}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.02469916627832))-π/2
    2×atan(2.78625713437049)-π/2
    2×1.22621096806257-π/2
    2.45242193612514-1.57079632675     		φ = 0.88162561
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.33747577} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 19.335937°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.88162561 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 50.513427°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 567 KachelY 345 0.33747577 0.88162561 19.335937 50.513427
    Oben rechts KachelX + 1 568 KachelY 345 0.34361170 0.88162561 19.687500 50.513427
    Unten links KachelX 567 KachelY + 1 346 0.33747577 0.87771455 19.335937 50.289339
    Unten rechts KachelX + 1 568 KachelY + 1 346 0.34361170 0.87771455 19.687500 50.289339
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.88162561-0.87771455) × R
    0.00391105999999997 × 6371000     		dl = 24917.3632599998m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.88162561-0.87771455) × R
    0.00391105999999997 × 6371000     		dr = 24917.3632599998m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.33747577-0.34361170) × cos(0.88162561) × R
    0.00613593000000001 × 0.635897382051354 × 6371000     		do = 24858.5068372023m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.33747577-0.34361170) × cos(0.87771455) × R
    0.00613593000000001 × 0.638910963826672 × 6371000     		du = 24976.3138061893m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.88162561)-sin(0.87771455))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.635897382051354-0.638910963826672)×R²
    abs(0.34361170-0.33747577)×0.00301358177531874×R²
    0.00613593000000001×0.00301358177531874×6371000²
    0.00613593000000001×0.00301358177531874×40589641000000     		ar = 620876955.915726m²