Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 61444 / 36868
↖ ↑ ↗
← N 61.601172°
W 11.239013°		 ← 145.23 m → N 61.601172°
W 11.236267°		 →
↑
145.26 m
↓
↑
145.26 m
↓
N 61.599865°
W 11.239013°		 ← 145.24 m →
21 097 m²		 N 61.599865°
W 11.236267°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 61444 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 36868 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.468784332275391 y=0.281284332275391 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.468784332275391 × 217)
    floor (0.468784332275391 × 131072)
    floor (61444.5)     		tx = 61444
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.281284332275391 × 217)
    floor (0.281284332275391 × 131072)
    floor (36868.5)     		ty = 36868
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 61444 / 36868 ti = "17/61444/36868"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/61444/36868.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 61444 ÷ 217
    61444 ÷ 131072     		x = 0.468780517578125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 36868 ÷ 217
    36868 ÷ 131072     		y = 0.281280517578125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.468780517578125 × 2 - 1) × π
    -0.06243896484375 × 3.1415926535     		Λ = -0.19615779
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.281280517578125 × 2 - 1) × π
    0.43743896484375 × 3.1415926535     		Φ = 1.37425503830777
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.19615779} λ = -0.19615779}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.37425503830777))-π/2
    2×atan(3.95213143947005)-π/2
    2×1.32296979754287-π/2
    2.64593959508574-1.57079632675     		φ = 1.07514327
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.19615779} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -11.239013°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.07514327 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 61.601172°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 61444 KachelY 36868 -0.19615779 1.07514327 -11.239013 61.601172
    Oben rechts KachelX + 1 61445 KachelY 36868 -0.19610986 1.07514327 -11.236267 61.601172
    Unten links KachelX 61444 KachelY + 1 36869 -0.19615779 1.07512047 -11.239013 61.599865
    Unten rechts KachelX + 1 61445 KachelY + 1 36869 -0.19610986 1.07512047 -11.236267 61.599865
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.07514327-1.07512047) × R
    2.27999999999895e-05 × 6371000     		dl = 145.258799999933m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.07514327-1.07512047) × R
    2.27999999999895e-05 × 6371000     		dr = 145.258799999933m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.19615779--0.19610986) × cos(1.07514327) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.475606219478857 × 6371000     		do = 145.232080660694m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.19615779--0.19610986) × cos(1.07512047) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.475626275564466 × 6371000     		du = 145.23820502771m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.07514327)-sin(1.07512047))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.475606219478857-0.475626275564466)×R²
    abs(-0.19610986--0.19615779)×2.00560856087884e-05×R²
    4.79300000000016e-05×2.00560856087884e-05×6371000²
    4.79300000000016e-05×2.00560856087884e-05×40589641000000     		ar = 21096.6825682387m²