Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 64512 / 46079
↖ ↑ ↗
← N 47.042054°
W  2.812500°		 ← 208.14 m → N 47.042054°
W  2.809754°		 →
↑
208.14 m
↓
↑
208.14 m
↓
N 47.040182°
W  2.812500°		 ← 208.14 m →
43 322 m²		 N 47.040182°
W  2.809754°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 64512 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 46079 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.492191314697266 y=0.351558685302734 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.492191314697266 × 217)
    floor (0.492191314697266 × 131072)
    floor (64512.5)     		tx = 64512
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.351558685302734 × 217)
    floor (0.351558685302734 × 131072)
    floor (46079.5)     		ty = 46079
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 64512 / 46079 ti = "17/64512/46079"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/64512/46079.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 64512 ÷ 217
    64512 ÷ 131072     		x = 0.4921875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 46079 ÷ 217
    46079 ÷ 131072     		y = 0.351554870605469
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.4921875 × 2 - 1) × π
    -0.015625 × 3.1415926535     		Λ = -0.04908739
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.351554870605469 × 2 - 1) × π
    0.296890258789062 × 3.1415926535     		Φ = 0.932708255907433
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.04908739} λ = -0.04908739}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.932708255907433))-π/2
    2×atan(2.54138258033617)-π/2
    2×1.19591752683009-π/2
    2.39183505366018-1.57079632675     		φ = 0.82103873
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.04908739} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -2.812500°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.82103873 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 47.042054°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 64512 KachelY 46079 -0.04908739 0.82103873 -2.812500 47.042054
    Oben rechts KachelX + 1 64513 KachelY 46079 -0.04903945 0.82103873 -2.809754 47.042054
    Unten links KachelX 64512 KachelY + 1 46080 -0.04908739 0.82100606 -2.812500 47.040182
    Unten rechts KachelX + 1 64513 KachelY + 1 46080 -0.04903945 0.82100606 -2.809754 47.040182
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.82103873-0.82100606) × R
    3.26700000000679e-05 × 6371000     		dl = 208.140570000433m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.82103873-0.82100606) × R
    3.26700000000679e-05 × 6371000     		dr = 208.140570000433m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.04908739--0.04903945) × cos(0.82103873) × R
    4.79400000000033e-05 × 0.681461376271805 × 6371000     		do = 208.135845129249m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.04908739--0.04903945) × cos(0.82100606) × R
    4.79400000000033e-05 × 0.681485285580883 × 6371000     		du = 208.143147647667m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.82103873)-sin(0.82100606))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.681461376271805-0.681485285580883)×R²
    abs(-0.04903945--0.04908739)×2.39093090783626e-05×R²
    4.79400000000033e-05×2.39093090783626e-05×6371000²
    4.79400000000033e-05×2.39093090783626e-05×40589641000000     		ar = 43322.2734217343m²