Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 64512 / 46080
↖ ↑ ↗
← N 47.040182°
W  2.812500°		 ← 208.14 m → N 47.040182°
W  2.809754°		 →
↑
208.14 m
↓
↑
208.14 m
↓
N 47.038310°
W  2.812500°		 ← 208.15 m →
43 324 m²		 N 47.038310°
W  2.809754°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 64512 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 46080 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.492191314697266 y=0.351566314697266 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.492191314697266 × 217)
    floor (0.492191314697266 × 131072)
    floor (64512.5)     		tx = 64512
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.351566314697266 × 217)
    floor (0.351566314697266 × 131072)
    floor (46080.5)     		ty = 46080
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 64512 / 46080 ti = "17/64512/46080"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/64512/46080.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 64512 ÷ 217
    64512 ÷ 131072     		x = 0.4921875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 46080 ÷ 217
    46080 ÷ 131072     		y = 0.3515625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.4921875 × 2 - 1) × π
    -0.015625 × 3.1415926535     		Λ = -0.04908739
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.3515625 × 2 - 1) × π
    0.296875 × 3.1415926535     		Φ = 0.932660319007813
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.04908739} λ = -0.04908739}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.932660319007813))-π/2
    2×atan(2.54126075725446)-π/2
    2×1.19590119297073-π/2
    2.39180238594145-1.57079632675     		φ = 0.82100606
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.04908739} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -2.812500°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.82100606 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 47.040182°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 64512 KachelY 46080 -0.04908739 0.82100606 -2.812500 47.040182
    Oben rechts KachelX + 1 64513 KachelY 46080 -0.04903945 0.82100606 -2.809754 47.040182
    Unten links KachelX 64512 KachelY + 1 46081 -0.04908739 0.82097339 -2.812500 47.038310
    Unten rechts KachelX + 1 64513 KachelY + 1 46081 -0.04903945 0.82097339 -2.809754 47.038310
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.82100606-0.82097339) × R
    3.26699999999569e-05 × 6371000     		dl = 208.140569999725m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.82100606-0.82097339) × R
    3.26699999999569e-05 × 6371000     		dr = 208.140569999725m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.04908739--0.04903945) × cos(0.82100606) × R
    4.79400000000033e-05 × 0.681485285580883 × 6371000     		do = 208.143147647667m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.04908739--0.04903945) × cos(0.82097339) × R
    4.79400000000033e-05 × 0.681509194162592 × 6371000     		du = 208.150449943928m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.82100606)-sin(0.82097339))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.681485285580883-0.681509194162592)×R²
    abs(-0.04903945--0.04908739)×2.39085817093088e-05×R²
    4.79400000000033e-05×2.39085817093088e-05×6371000²
    4.79400000000033e-05×2.39085817093088e-05×40589641000000     		ar = 43323.7933488329m²