Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 64516 / 48132
↖ ↑ ↗
← N 43.060861°
W  2.801514°		 ← 223.15 m → N 43.060861°
W  2.798767°		 →
↑
223.11 m
↓
↑
223.11 m
↓
N 43.058855°
W  2.801514°		 ← 223.16 m →
49 789 m²		 N 43.058855°
W  2.798767°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 64516 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 48132 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.492221832275391 y=0.367221832275391 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.492221832275391 × 217)
    floor (0.492221832275391 × 131072)
    floor (64516.5)     		tx = 64516
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.367221832275391 × 217)
    floor (0.367221832275391 × 131072)
    floor (48132.5)     		ty = 48132
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 64516 / 48132 ti = "17/64516/48132"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/64516/48132.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 64516 ÷ 217
    64516 ÷ 131072     		x = 0.492218017578125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 48132 ÷ 217
    48132 ÷ 131072     		y = 0.367218017578125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.492218017578125 × 2 - 1) × π
    -0.01556396484375 × 3.1415926535     		Λ = -0.04889564
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.367218017578125 × 2 - 1) × π
    0.26556396484375 × 3.1415926535     		Φ = 0.834293800987457
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.04889564} λ = -0.04889564}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.834293800987457))-π/2
    2×atan(2.30318696547178)-π/2
    2×1.16117506822613-π/2
    2.32235013645225-1.57079632675     		φ = 0.75155381
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.04889564} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -2.801514°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.75155381 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 43.060861°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 64516 KachelY 48132 -0.04889564 0.75155381 -2.801514 43.060861
    Oben rechts KachelX + 1 64517 KachelY 48132 -0.04884770 0.75155381 -2.798767 43.060861
    Unten links KachelX 64516 KachelY + 1 48133 -0.04889564 0.75151879 -2.801514 43.058855
    Unten rechts KachelX + 1 64517 KachelY + 1 48133 -0.04884770 0.75151879 -2.798767 43.058855
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.75155381-0.75151879) × R
    3.50199999999967e-05 × 6371000     		dl = 223.112419999979m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.75155381-0.75151879) × R
    3.50199999999967e-05 × 6371000     		dr = 223.112419999979m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.04889564--0.04884770) × cos(0.75155381) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.730628848910917 × 6371000     		do = 223.152856843948m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.04889564--0.04884770) × cos(0.75151879) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.730652759237864 × 6371000     		du = 223.160159673249m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.75155381)-sin(0.75151879))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.730628848910917-0.730652759237864)×R²
    abs(-0.04884770--0.04889564)×2.39103269470409e-05×R²
    4.79399999999963e-05×2.39103269470409e-05×6371000²
    4.79399999999963e-05×2.39103269470409e-05×40589641000000     		ar = 49788.98860149m²