Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 64544 / 48160
↖ ↑ ↗
← N 43.004647°
W  2.724609°		 ← 223.31 m → N 43.004647°
W  2.721863°		 →
↑
223.37 m
↓
↑
223.37 m
↓
N 43.002639°
W  2.724609°		 ← 223.32 m →
49 881 m²		 N 43.002639°
W  2.721863°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 64544 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 48160 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.492435455322266 y=0.367435455322266 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.492435455322266 × 217)
    floor (0.492435455322266 × 131072)
    floor (64544.5)     		tx = 64544
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.367435455322266 × 217)
    floor (0.367435455322266 × 131072)
    floor (48160.5)     		ty = 48160
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 64544 / 48160 ti = "17/64544/48160"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/64544/48160.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 64544 ÷ 217
    64544 ÷ 131072     		x = 0.492431640625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 48160 ÷ 217
    48160 ÷ 131072     		y = 0.367431640625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.492431640625 × 2 - 1) × π
    -0.01513671875 × 3.1415926535     		Λ = -0.04755340
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.367431640625 × 2 - 1) × π
    0.26513671875 × 3.1415926535     		Φ = 0.832951567798096
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.04755340} λ = -0.04755340}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.832951567798096))-π/2
    2×atan(2.30009762525671)-π/2
    2×1.16068450640791-π/2
    2.32136901281582-1.57079632675     		φ = 0.75057269
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.04755340} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -2.724609°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.75057269 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 43.004647°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 64544 KachelY 48160 -0.04755340 0.75057269 -2.724609 43.004647
    Oben rechts KachelX + 1 64545 KachelY 48160 -0.04750547 0.75057269 -2.721863 43.004647
    Unten links KachelX 64544 KachelY + 1 48161 -0.04755340 0.75053763 -2.724609 43.002639
    Unten rechts KachelX + 1 64545 KachelY + 1 48161 -0.04750547 0.75053763 -2.721863 43.002639
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.75057269-0.75053763) × R
    3.50600000000867e-05 × 6371000     		dl = 223.367260000552m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.75057269-0.75053763) × R
    3.50600000000867e-05 × 6371000     		dr = 223.367260000552m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.04755340--0.04750547) × cos(0.75057269) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.731298381206282 × 6371000     		do = 223.310758220872m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.04755340--0.04750547) × cos(0.75053763) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.73132229369905 × 6371000     		du = 223.318060188205m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.75057269)-sin(0.75053763))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.731298381206282-0.73132229369905)×R²
    abs(-0.04750547--0.04755340)×2.39124927677858e-05×R²
    4.79300000000016e-05×2.39124927677858e-05×6371000²
    4.79300000000016e-05×2.39124927677858e-05×40589641000000     		ar = 49881.1277077914m²