Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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7 / 65 / 45
↖ ↑ ↗
← N 47.040182°
E  2.812500°		 ← 213.125 km → N 47.040182°
E  5.625000°		 →
↑
216.958 km
↓
↑
216.958 km
↓
N 45.089036°
E  2.812500°		 ← 220.794 km →
47 075.5 km²		 N 45.089036°
E  5.625000°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 7 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 65 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 45 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.51171875 y=0.35546875 und der Vergrößerungsstufe zoom=7 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.51171875 × 27)
    floor (0.51171875 × 128)
    floor (65.5)     		tx = 65
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.35546875 × 27)
    floor (0.35546875 × 128)
    floor (45.5)     		ty = 45
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 7 / 65 / 45 ti = "7/65/45"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/7/65/45.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 65 ÷ 27
    65 ÷ 128     		x = 0.5078125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 45 ÷ 27
    45 ÷ 128     		y = 0.3515625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.5078125 × 2 - 1) × π
    0.015625 × 3.1415926535     		Λ = 0.04908739
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.3515625 × 2 - 1) × π
    0.296875 × 3.1415926535     		Φ = 0.932660319007813
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.04908739} λ = 0.04908739}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.932660319007813))-π/2
    2×atan(2.54126075725446)-π/2
    2×1.19590119297073-π/2
    2.39180238594145-1.57079632675     		φ = 0.82100606
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.04908739} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 2.812500°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.82100606 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 47.040182°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 65 KachelY 45 0.04908739 0.82100606 2.812500 47.040182
    Oben rechts KachelX + 1 66 KachelY 45 0.09817477 0.82100606 5.625000 47.040182
    Unten links KachelX 65 KachelY + 1 46 0.04908739 0.78695213 2.812500 45.089036
    Unten rechts KachelX + 1 66 KachelY + 1 46 0.09817477 0.78695213 5.625000 45.089036
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.82100606-0.78695213) × R
    0.03405393 × 6371000     		dl = 216957.58803m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.82100606-0.78695213) × R
    0.03405393 × 6371000     		dr = 216957.58803m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.04908739-0.09817477) × cos(0.82100606) × R
    0.04908738 × 0.681485285580883 × 6371000     		do = 213124.776449237m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.04908739-0.09817477) × cos(0.78695213) × R
    0.04908738 × 0.706007107541517 × 6371000     		du = 220793.625555837m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.82100606)-sin(0.78695213))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.681485285580883-0.706007107541517)×R²
    abs(0.09817477-0.04908739)×0.0245218219606336×R²
    0.04908738×0.0245218219606336×6371000²
    0.04908738×0.0245218219606336×40589641000000     		ar = 47075494375.4869m²