Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 65024 / 44544
↖ ↑ ↗
← N 49.837983°
W  1.406250°		 ← 196.94 m → N 49.837983°
W  1.403504°		 →
↑
196.99 m
↓
↑
196.99 m
↓
N 49.836211°
W  1.406250°		 ← 196.95 m →
38 797 m²		 N 49.836211°
W  1.403504°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 65024 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 44544 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.496097564697266 y=0.339847564697266 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.496097564697266 × 217)
    floor (0.496097564697266 × 131072)
    floor (65024.5)     		tx = 65024
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.339847564697266 × 217)
    floor (0.339847564697266 × 131072)
    floor (44544.5)     		ty = 44544
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 65024 / 44544 ti = "17/65024/44544"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/65024/44544.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 65024 ÷ 217
    65024 ÷ 131072     		x = 0.49609375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 44544 ÷ 217
    44544 ÷ 131072     		y = 0.33984375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.49609375 × 2 - 1) × π
    -0.0078125 × 3.1415926535     		Λ = -0.02454369
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.33984375 × 2 - 1) × π
    0.3203125 × 3.1415926535     		Φ = 1.00629139682422
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.02454369} λ = -0.02454369}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.00629139682422))-π/2
    2×atan(2.73543752819178)-π/2
    2×1.22031660656692-π/2
    2.44063321313384-1.57079632675     		φ = 0.86983689
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.02454369} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -1.406250°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.86983689 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 49.837983°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 65024 KachelY 44544 -0.02454369 0.86983689 -1.406250 49.837983
    Oben rechts KachelX + 1 65025 KachelY 44544 -0.02449576 0.86983689 -1.403504 49.837983
    Unten links KachelX 65024 KachelY + 1 44545 -0.02454369 0.86980597 -1.406250 49.836211
    Unten rechts KachelX + 1 65025 KachelY + 1 44545 -0.02449576 0.86980597 -1.403504 49.836211
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.86983689-0.86980597) × R
    3.09199999999343e-05 × 6371000     		dl = 196.991319999582m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.86983689-0.86980597) × R
    3.09199999999343e-05 × 6371000     		dr = 196.991319999582m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.02454369--0.02449576) × cos(0.86983689) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.644951208354603 × 6371000     		do = 196.943610234121m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.02454369--0.02449576) × cos(0.86980597) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.644974837844623 × 6371000     		du = 196.950825783161m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.86983689)-sin(0.86980597))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.644951208354603-0.644974837844623)×R²
    abs(-0.02449576--0.02454369)×2.3629490019883e-05×R²
    4.79300000000016e-05×2.3629490019883e-05×6371000²
    4.79300000000016e-05×2.3629490019883e-05×40589641000000     		ar = 38796.8924488591m²