Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 66432 / 44416
↖ ↑ ↗
← N 50.064192°
E  2.460937°		 ← 196.06 m → N 50.064192°
E  2.463684°		 →
↑
196.04 m
↓
↑
196.04 m
↓
N 50.062429°
E  2.460937°		 ← 196.07 m →
38 436 m²		 N 50.062429°
E  2.463684°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 66432 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 44416 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.506839752197266 y=0.338871002197266 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.506839752197266 × 217)
    floor (0.506839752197266 × 131072)
    floor (66432.5)     		tx = 66432
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.338871002197266 × 217)
    floor (0.338871002197266 × 131072)
    floor (44416.5)     		ty = 44416
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 66432 / 44416 ti = "17/66432/44416"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/66432/44416.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 66432 ÷ 217
    66432 ÷ 131072     		x = 0.5068359375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 44416 ÷ 217
    44416 ÷ 131072     		y = 0.3388671875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.5068359375 × 2 - 1) × π
    0.013671875 × 3.1415926535     		Λ = 0.04295146
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.3388671875 × 2 - 1) × π
    0.322265625 × 3.1415926535     		Φ = 1.01242731997559
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.04295146} λ = 0.04295146}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.01242731997559))-π/2
    2×atan(2.75227356213295)-π/2
    2×1.22229065496538-π/2
    2.44458130993076-1.57079632675     		φ = 0.87378498
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.04295146} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 2.460937°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.87378498 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 50.064192°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 66432 KachelY 44416 0.04295146 0.87378498 2.460937 50.064192
    Oben rechts KachelX + 1 66433 KachelY 44416 0.04299940 0.87378498 2.463684 50.064192
    Unten links KachelX 66432 KachelY + 1 44417 0.04295146 0.87375421 2.460937 50.062429
    Unten rechts KachelX + 1 66433 KachelY + 1 44417 0.04299940 0.87375421 2.463684 50.062429
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.87378498-0.87375421) × R
    3.07700000000688e-05 × 6371000     		dl = 196.035670000438m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.87378498-0.87375421) × R
    3.07700000000688e-05 × 6371000     		dr = 196.035670000438m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.04295146-0.04299940) × cos(0.87378498) × R
    4.79400000000033e-05 × 0.641928965496643 × 6371000     		do = 196.06162931426m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.04295146-0.04299940) × cos(0.87375421) × R
    4.79400000000033e-05 × 0.641952558524475 × 6371000     		du = 196.068835232244m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.87378498)-sin(0.87375421))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.641928965496643-0.641952558524475)×R²
    abs(0.04299940-0.04295146)×2.35930278318364e-05×R²
    4.79400000000033e-05×2.35930278318364e-05×6371000²
    4.79400000000033e-05×2.35930278318364e-05×40589641000000     		ar = 38435.7791756285m²