Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 66432 / 45952
↖ ↑ ↗
← N 47.279229°
E  2.460937°		 ← 207.21 m → N 47.279229°
E  2.463684°		 →
↑
207.18 m
↓
↑
207.18 m
↓
N 47.277366°
E  2.460937°		 ← 207.22 m →
42 931 m²		 N 47.277366°
E  2.463684°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 66432 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 45952 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.506839752197266 y=0.350589752197266 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.506839752197266 × 217)
    floor (0.506839752197266 × 131072)
    floor (66432.5)     		tx = 66432
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.350589752197266 × 217)
    floor (0.350589752197266 × 131072)
    floor (45952.5)     		ty = 45952
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 66432 / 45952 ti = "17/66432/45952"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/66432/45952.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 66432 ÷ 217
    66432 ÷ 131072     		x = 0.5068359375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 45952 ÷ 217
    45952 ÷ 131072     		y = 0.3505859375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.5068359375 × 2 - 1) × π
    0.013671875 × 3.1415926535     		Λ = 0.04295146
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.3505859375 × 2 - 1) × π
    0.298828125 × 3.1415926535     		Φ = 0.93879624215918
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.04295146} λ = 0.04295146}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.93879624215918))-π/2
    2×atan(2.5569016746293)-π/2
    2×1.19798727033797-π/2
    2.39597454067595-1.57079632675     		φ = 0.82517821
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.04295146} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 2.460937°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.82517821 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 47.279229°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 66432 KachelY 45952 0.04295146 0.82517821 2.460937 47.279229
    Oben rechts KachelX + 1 66433 KachelY 45952 0.04299940 0.82517821 2.463684 47.279229
    Unten links KachelX 66432 KachelY + 1 45953 0.04295146 0.82514569 2.460937 47.277366
    Unten rechts KachelX + 1 66433 KachelY + 1 45953 0.04299940 0.82514569 2.463684 47.277366
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.82517821-0.82514569) × R
    3.25199999999803e-05 × 6371000     		dl = 207.184919999875m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.82517821-0.82514569) × R
    3.25199999999803e-05 × 6371000     		dr = 207.184919999875m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.04295146-0.04299940) × cos(0.82517821) × R
    4.79400000000033e-05 × 0.67842605108918 × 6371000     		do = 207.208778689205m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.04295146-0.04299940) × cos(0.82514569) × R
    4.79400000000033e-05 × 0.678449942156442 × 6371000     		du = 207.216075636102m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.82517821)-sin(0.82514569))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.67842605108918-0.678449942156442)×R²
    abs(0.04299940-0.04295146)×2.38910672619719e-05×R²
    4.79400000000033e-05×2.38910672619719e-05×6371000²
    4.79400000000033e-05×2.38910672619719e-05×40589641000000     		ar = 42931.2901482988m²