Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 66496 / 46016
↖ ↑ ↗
← N 47.159840°
E  2.636719°		 ← 207.68 m → N 47.159840°
E  2.639465°		 →
↑
207.63 m
↓
↑
207.63 m
↓
N 47.157973°
E  2.636719°		 ← 207.68 m →
43 121 m²		 N 47.157973°
E  2.639465°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 66496 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 46016 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.507328033447266 y=0.351078033447266 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.507328033447266 × 217)
    floor (0.507328033447266 × 131072)
    floor (66496.5)     		tx = 66496
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.351078033447266 × 217)
    floor (0.351078033447266 × 131072)
    floor (46016.5)     		ty = 46016
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 66496 / 46016 ti = "17/66496/46016"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/66496/46016.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 66496 ÷ 217
    66496 ÷ 131072     		x = 0.50732421875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 46016 ÷ 217
    46016 ÷ 131072     		y = 0.35107421875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.50732421875 × 2 - 1) × π
    0.0146484375 × 3.1415926535     		Λ = 0.04601942
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.35107421875 × 2 - 1) × π
    0.2978515625 × 3.1415926535     		Φ = 0.935728280583496
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.04601942} λ = 0.04601942}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.935728280583496))-π/2
    2×atan(2.54906921951791)-π/2
    2×1.19694540485905-π/2
    2.3938908097181-1.57079632675     		φ = 0.82309448
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.04601942} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 2.636719°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.82309448 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 47.159840°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 66496 KachelY 46016 0.04601942 0.82309448 2.636719 47.159840
    Oben rechts KachelX + 1 66497 KachelY 46016 0.04606736 0.82309448 2.639465 47.159840
    Unten links KachelX 66496 KachelY + 1 46017 0.04601942 0.82306189 2.636719 47.157973
    Unten rechts KachelX + 1 66497 KachelY + 1 46017 0.04606736 0.82306189 2.639465 47.157973
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.82309448-0.82306189) × R
    3.2589999999999e-05 × 6371000     		dl = 207.630889999994m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.82309448-0.82306189) × R
    3.2589999999999e-05 × 6371000     		dr = 207.630889999994m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.04601942-0.04606736) × cos(0.82309448) × R
    4.79400000000033e-05 × 0.679955428344822 × 6371000     		do = 207.675889869248m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.04601942-0.04606736) × cos(0.82306189) × R
    4.79400000000033e-05 × 0.679979324713517 × 6371000     		du = 207.68318843534m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.82309448)-sin(0.82306189))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.679955428344822-0.679979324713517)×R²
    abs(0.04606736-0.04601942)×2.38963686943761e-05×R²
    4.79400000000033e-05×2.38963686943761e-05×6371000²
    4.79400000000033e-05×2.38963686943761e-05×40589641000000     		ar = 43120.6875529348m²