Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 66552 / 44056
↖ ↑ ↗
← N 50.694718°
E  2.790527°		 ← 193.47 m → N 50.694718°
E  2.793274°		 →
↑
193.49 m
↓
↑
193.49 m
↓
N 50.692978°
E  2.790527°		 ← 193.48 m →
37 435 m²		 N 50.692978°
E  2.793274°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 66552 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 44056 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.507755279541016 y=0.336124420166016 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.507755279541016 × 217)
    floor (0.507755279541016 × 131072)
    floor (66552.5)     		tx = 66552
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.336124420166016 × 217)
    floor (0.336124420166016 × 131072)
    floor (44056.5)     		ty = 44056
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 66552 / 44056 ti = "17/66552/44056"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/66552/44056.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 66552 ÷ 217
    66552 ÷ 131072     		x = 0.50775146484375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 44056 ÷ 217
    44056 ÷ 131072     		y = 0.33612060546875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.50775146484375 × 2 - 1) × π
    0.0155029296875 × 3.1415926535     		Λ = 0.04870389
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.33612060546875 × 2 - 1) × π
    0.3277587890625 × 3.1415926535     		Φ = 1.02968460383881
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.04870389} λ = 0.04870389}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.02968460383881))-π/2
    2×atan(2.80018252859056)-π/2
    2×1.22779303321111-π/2
    2.45558606642222-1.57079632675     		φ = 0.88478974
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.04870389} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 2.790527°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.88478974 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 50.694718°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 66552 KachelY 44056 0.04870389 0.88478974 2.790527 50.694718
    Oben rechts KachelX + 1 66553 KachelY 44056 0.04875183 0.88478974 2.793274 50.694718
    Unten links KachelX 66552 KachelY + 1 44057 0.04870389 0.88475937 2.790527 50.692978
    Unten rechts KachelX + 1 66553 KachelY + 1 44057 0.04875183 0.88475937 2.793274 50.692978
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.88478974-0.88475937) × R
    3.03699999999463e-05 × 6371000     		dl = 193.487269999658m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.88478974-0.88475937) × R
    3.03699999999463e-05 × 6371000     		dr = 193.487269999658m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.04870389-0.04875183) × cos(0.88478974) × R
    4.79400000000033e-05 × 0.633452210853778 × 6371000     		do = 193.472610254664m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.04870389-0.04875183) × cos(0.88475937) × R
    4.79400000000033e-05 × 0.633475710315355 × 6371000     		du = 193.479787595106m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.88478974)-sin(0.88475937))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.633452210853778-0.633475710315355)×R²
    abs(0.04875183-0.04870389)×2.34994615767592e-05×R²
    4.79400000000033e-05×2.34994615767592e-05×6371000²
    4.79400000000033e-05×2.34994615767592e-05×40589641000000     		ar = 37435.1815426447m²