Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 66556 / 44044
↖ ↑ ↗
← N 50.715591°
E  2.801514°		 ← 193.35 m → N 50.715591°
E  2.804260°		 →
↑
193.42 m
↓
↑
193.42 m
↓
N 50.713852°
E  2.801514°		 ← 193.35 m →
37 398 m²		 N 50.713852°
E  2.804260°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 66556 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 44044 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.507785797119141 y=0.336032867431641 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.507785797119141 × 217)
    floor (0.507785797119141 × 131072)
    floor (66556.5)     		tx = 66556
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.336032867431641 × 217)
    floor (0.336032867431641 × 131072)
    floor (44044.5)     		ty = 44044
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 66556 / 44044 ti = "17/66556/44044"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/66556/44044.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 66556 ÷ 217
    66556 ÷ 131072     		x = 0.507781982421875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 44044 ÷ 217
    44044 ÷ 131072     		y = 0.336029052734375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.507781982421875 × 2 - 1) × π
    0.01556396484375 × 3.1415926535     		Λ = 0.04889564
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.336029052734375 × 2 - 1) × π
    0.32794189453125 × 3.1415926535     		Φ = 1.03025984663425
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.04889564} λ = 0.04889564}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.03025984663425))-π/2
    2×atan(2.80179377680109)-π/2
    2×1.22797518707496-π/2
    2.45595037414991-1.57079632675     		φ = 0.88515405
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.04889564} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 2.801514°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.88515405 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 50.715591°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 66556 KachelY 44044 0.04889564 0.88515405 2.801514 50.715591
    Oben rechts KachelX + 1 66557 KachelY 44044 0.04894357 0.88515405 2.804260 50.715591
    Unten links KachelX 66556 KachelY + 1 44045 0.04889564 0.88512369 2.801514 50.713852
    Unten rechts KachelX + 1 66557 KachelY + 1 44045 0.04894357 0.88512369 2.804260 50.713852
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.88515405-0.88512369) × R
    3.0360000000007e-05 × 6371000     		dl = 193.423560000045m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.88515405-0.88512369) × R
    3.0360000000007e-05 × 6371000     		dr = 193.423560000045m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.04889564-0.04894357) × cos(0.88515405) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.633170272370695 × 6371000     		do = 193.346159706775m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.04889564-0.04894357) × cos(0.88512369) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.633193771099485 × 6371000     		du = 193.3533353263m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.88515405)-sin(0.88512369))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.633170272370695-0.633193771099485)×R²
    abs(0.04894357-0.04889564)×2.34987287893729e-05×R²
    4.79300000000016e-05×2.34987287893729e-05×6371000²
    4.79300000000016e-05×2.34987287893729e-05×40589641000000     		ar = 37398.3964925632m²