Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 66558 / 46086
↖ ↑ ↗
← N 47.028951°
E  2.807007°		 ← 208.19 m → N 47.028951°
E  2.809754°		 →
↑
208.20 m
↓
↑
208.20 m
↓
N 47.027078°
E  2.807007°		 ← 208.19 m →
43 346 m²		 N 47.027078°
E  2.809754°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 66558 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 46086 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.507801055908203 y=0.351612091064453 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.507801055908203 × 217)
    floor (0.507801055908203 × 131072)
    floor (66558.5)     		tx = 66558
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.351612091064453 × 217)
    floor (0.351612091064453 × 131072)
    floor (46086.5)     		ty = 46086
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 66558 / 46086 ti = "17/66558/46086"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/66558/46086.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 66558 ÷ 217
    66558 ÷ 131072     		x = 0.507797241210938
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 46086 ÷ 217
    46086 ÷ 131072     		y = 0.351608276367188
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.507797241210938 × 2 - 1) × π
    0.015594482421875 × 3.1415926535     		Λ = 0.04899151
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.351608276367188 × 2 - 1) × π
    0.296783447265625 × 3.1415926535     		Φ = 0.932372697610092
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.04899151} λ = 0.04899151}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.932372697610092))-π/2
    2×atan(2.54052994138766)-π/2
    2×1.19580317778081-π/2
    2.39160635556162-1.57079632675     		φ = 0.82081003
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.04899151} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 2.807007°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.82081003 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 47.028951°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 66558 KachelY 46086 0.04899151 0.82081003 2.807007 47.028951
    Oben rechts KachelX + 1 66559 KachelY 46086 0.04903945 0.82081003 2.809754 47.028951
    Unten links KachelX 66558 KachelY + 1 46087 0.04899151 0.82077735 2.807007 47.027078
    Unten rechts KachelX + 1 66559 KachelY + 1 46087 0.04903945 0.82077735 2.809754 47.027078
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.82081003-0.82077735) × R
    3.26800000000071e-05 × 6371000     		dl = 208.204280000046m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.82081003-0.82077735) × R
    3.26800000000071e-05 × 6371000     		dr = 208.204280000046m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.04899151-0.04903945) × cos(0.82081003) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.681628733476694 × 6371000     		do = 208.186960327366m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.04899151-0.04903945) × cos(0.82077735) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.681652645010191 × 6371000     		du = 208.194263525179m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.82081003)-sin(0.82077735))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.681628733476694-0.681652645010191)×R²
    abs(0.04903945-0.04899151)×2.39115334964568e-05×R²
    4.79399999999963e-05×2.39115334964568e-05×6371000²
    4.79399999999963e-05×2.39115334964568e-05×40589641000000     		ar = 43346.1764626507m²