Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 66559 / 44035
↖ ↑ ↗
← N 50.731240°
E  2.809754°		 ← 193.32 m → N 50.731240°
E  2.812500°		 →
↑
193.30 m
↓
↑
193.30 m
↓
N 50.729502°
E  2.809754°		 ← 193.33 m →
37 369 m²		 N 50.729502°
E  2.812500°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 66559 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 44035 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.507808685302734 y=0.335964202880859 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.507808685302734 × 217)
    floor (0.507808685302734 × 131072)
    floor (66559.5)     		tx = 66559
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.335964202880859 × 217)
    floor (0.335964202880859 × 131072)
    floor (44035.5)     		ty = 44035
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 66559 / 44035 ti = "17/66559/44035"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/66559/44035.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 66559 ÷ 217
    66559 ÷ 131072     		x = 0.507804870605469
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 44035 ÷ 217
    44035 ÷ 131072     		y = 0.335960388183594
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.507804870605469 × 2 - 1) × π
    0.0156097412109375 × 3.1415926535     		Λ = 0.04903945
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.335960388183594 × 2 - 1) × π
    0.328079223632812 × 3.1415926535     		Φ = 1.03069127873083
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.04903945} λ = 0.04903945}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.03069127873083))-π/2
    2×atan(2.80300282135596)-π/2
    2×1.22811174926011-π/2
    2.45622349852023-1.57079632675     		φ = 0.88542717
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.04903945} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 2.809754°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.88542717 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 50.731240°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 66559 KachelY 44035 0.04903945 0.88542717 2.809754 50.731240
    Oben rechts KachelX + 1 66560 KachelY 44035 0.04908739 0.88542717 2.812500 50.731240
    Unten links KachelX 66559 KachelY + 1 44036 0.04903945 0.88539683 2.809754 50.729502
    Unten rechts KachelX + 1 66560 KachelY + 1 44036 0.04908739 0.88539683 2.812500 50.729502
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.88542717-0.88539683) × R
    3.03400000000176e-05 × 6371000     		dl = 193.296140000112m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.88542717-0.88539683) × R
    3.03400000000176e-05 × 6371000     		dr = 193.296140000112m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.04903945-0.04908739) × cos(0.88542717) × R
    4.79400000000033e-05 × 0.632958850453917 × 6371000     		do = 193.32192528945m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.04903945-0.04908739) × cos(0.88539683) × R
    4.79400000000033e-05 × 0.632982338948803 × 6371000     		du = 193.329099280382m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.88542717)-sin(0.88539683))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.632958850453917-0.632982338948803)×R²
    abs(0.04908739-0.04903945)×2.34884948850933e-05×R²
    4.79400000000033e-05×2.34884948850933e-05×6371000²
    4.79400000000033e-05×2.34884948850933e-05×40589641000000     		ar = 37369.0752909132m²