Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 66561 / 46081
↖ ↑ ↗
← N 47.038310°
E  2.815246°		 ← 208.15 m → N 47.038310°
E  2.817993°		 →
↑
208.14 m
↓
↑
208.14 m
↓
N 47.036438°
E  2.815246°		 ← 208.16 m →
43 325 m²		 N 47.036438°
E  2.817993°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 66561 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 46081 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.507823944091797 y=0.351573944091797 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.507823944091797 × 217)
    floor (0.507823944091797 × 131072)
    floor (66561.5)     		tx = 66561
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.351573944091797 × 217)
    floor (0.351573944091797 × 131072)
    floor (46081.5)     		ty = 46081
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 66561 / 46081 ti = "17/66561/46081"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/66561/46081.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 66561 ÷ 217
    66561 ÷ 131072     		x = 0.507820129394531
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 46081 ÷ 217
    46081 ÷ 131072     		y = 0.351570129394531
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.507820129394531 × 2 - 1) × π
    0.0156402587890625 × 3.1415926535     		Λ = 0.04913532
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.351570129394531 × 2 - 1) × π
    0.296859741210938 × 3.1415926535     		Φ = 0.932612382108192
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.04913532} λ = 0.04913532}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.932612382108192))-π/2
    2×atan(2.54113894001242)-π/2
    2×1.19588485853833-π/2
    2.39176971707667-1.57079632675     		φ = 0.82097339
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.04913532} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 2.815246°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.82097339 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 47.038310°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 66561 KachelY 46081 0.04913532 0.82097339 2.815246 47.038310
    Oben rechts KachelX + 1 66562 KachelY 46081 0.04918326 0.82097339 2.817993 47.038310
    Unten links KachelX 66561 KachelY + 1 46082 0.04913532 0.82094072 2.815246 47.036438
    Unten rechts KachelX + 1 66562 KachelY + 1 46082 0.04918326 0.82094072 2.817993 47.036438
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.82097339-0.82094072) × R
    3.26700000000679e-05 × 6371000     		dl = 208.140570000433m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.82097339-0.82094072) × R
    3.26700000000679e-05 × 6371000     		dr = 208.140570000433m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.04913532-0.04918326) × cos(0.82097339) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.681509194162592 × 6371000     		do = 208.150449943898m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.04913532-0.04918326) × cos(0.82094072) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.681533102016907 × 6371000     		du = 208.157752017993m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.82097339)-sin(0.82094072))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.681509194162592-0.681533102016907)×R²
    abs(0.04918326-0.04913532)×2.39078543149418e-05×R²
    4.79399999999963e-05×2.39078543149418e-05×6371000²
    4.79399999999963e-05×2.39078543149418e-05×40589641000000     		ar = 43325.3132299099m²