Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 66562 / 44034
↖ ↑ ↗
← N 50.732978°
E  2.817993°		 ← 193.31 m → N 50.732978°
E  2.820740°		 →
↑
193.30 m
↓
↑
193.30 m
↓
N 50.731240°
E  2.817993°		 ← 193.32 m →
37 368 m²		 N 50.731240°
E  2.820740°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 66562 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 44034 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.507831573486328 y=0.335956573486328 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.507831573486328 × 217)
    floor (0.507831573486328 × 131072)
    floor (66562.5)     		tx = 66562
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.335956573486328 × 217)
    floor (0.335956573486328 × 131072)
    floor (44034.5)     		ty = 44034
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 66562 / 44034 ti = "17/66562/44034"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/66562/44034.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 66562 ÷ 217
    66562 ÷ 131072     		x = 0.507827758789062
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 44034 ÷ 217
    44034 ÷ 131072     		y = 0.335952758789062
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.507827758789062 × 2 - 1) × π
    0.015655517578125 × 3.1415926535     		Λ = 0.04918326
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.335952758789062 × 2 - 1) × π
    0.328094482421875 × 3.1415926535     		Φ = 1.03073921563045
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.04918326} λ = 0.04918326}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.03073921563045))-π/2
    2×atan(2.80313719184147)-π/2
    2×1.22812692002101-π/2
    2.45625384004202-1.57079632675     		φ = 0.88545751
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.04918326} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 2.817993°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.88545751 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 50.732978°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 66562 KachelY 44034 0.04918326 0.88545751 2.817993 50.732978
    Oben rechts KachelX + 1 66563 KachelY 44034 0.04923120 0.88545751 2.820740 50.732978
    Unten links KachelX 66562 KachelY + 1 44035 0.04918326 0.88542717 2.817993 50.731240
    Unten rechts KachelX + 1 66563 KachelY + 1 44035 0.04923120 0.88542717 2.820740 50.731240
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.88545751-0.88542717) × R
    3.03399999999066e-05 × 6371000     		dl = 193.296139999405m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.88545751-0.88542717) × R
    3.03399999999066e-05 × 6371000     		dr = 193.296139999405m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.04918326-0.04923120) × cos(0.88545751) × R
    4.79400000000033e-05 × 0.632935361376384 × 6371000     		do = 193.314751120563m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.04918326-0.04923120) × cos(0.88542717) × R
    4.79400000000033e-05 × 0.632958850453917 × 6371000     		du = 193.32192528945m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.88545751)-sin(0.88542717))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.632935361376384-0.632958850453917)×R²
    abs(0.04923120-0.04918326)×2.34890775333563e-05×R²
    4.79400000000033e-05×2.34890775333563e-05×6371000²
    4.79400000000033e-05×2.34890775333563e-05×40589641000000     		ar = 37367.6885690687m²