Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 66563 / 46085
↖ ↑ ↗
← N 47.030822°
E  2.820740°		 ← 208.14 m → N 47.030822°
E  2.823486°		 →
↑
208.14 m
↓
↑
208.14 m
↓
N 47.028951°
E  2.820740°		 ← 208.14 m →
43 322 m²		 N 47.028951°
E  2.823486°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 66563 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 46085 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.507839202880859 y=0.351604461669922 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.507839202880859 × 217)
    floor (0.507839202880859 × 131072)
    floor (66563.5)     		tx = 66563
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.351604461669922 × 217)
    floor (0.351604461669922 × 131072)
    floor (46085.5)     		ty = 46085
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 66563 / 46085 ti = "17/66563/46085"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/66563/46085.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 66563 ÷ 217
    66563 ÷ 131072     		x = 0.507835388183594
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 46085 ÷ 217
    46085 ÷ 131072     		y = 0.351600646972656
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.507835388183594 × 2 - 1) × π
    0.0156707763671875 × 3.1415926535     		Λ = 0.04923120
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.351600646972656 × 2 - 1) × π
    0.296798706054688 × 3.1415926535     		Φ = 0.932420634509712
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.04923120} λ = 0.04923120}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.932420634509712))-π/2
    2×atan(2.54065172943549)-π/2
    2×1.1958195150784-π/2
    2.3916390301568-1.57079632675     		φ = 0.82084270
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.04923120} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 2.820740°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.82084270 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 47.030822°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 66563 KachelY 46085 0.04923120 0.82084270 2.820740 47.030822
    Oben rechts KachelX + 1 66564 KachelY 46085 0.04927913 0.82084270 2.823486 47.030822
    Unten links KachelX 66563 KachelY + 1 46086 0.04923120 0.82081003 2.820740 47.028951
    Unten rechts KachelX + 1 66564 KachelY + 1 46086 0.04927913 0.82081003 2.823486 47.028951
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.82084270-0.82081003) × R
    3.26700000000679e-05 × 6371000     		dl = 208.140570000433m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.82084270-0.82081003) × R
    3.26700000000679e-05 × 6371000     		dr = 208.140570000433m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.04923120-0.04927913) × cos(0.82084270) × R
    4.79299999999946e-05 × 0.681604828532435 × 6371000     		do = 208.136234098443m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.04923120-0.04927913) × cos(0.82081003) × R
    4.79299999999946e-05 × 0.681628733476694 × 6371000     		du = 208.143533760749m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.82084270)-sin(0.82081003))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.681604828532435-0.681628733476694)×R²
    abs(0.04927913-0.04923120)×2.39049442593009e-05×R²
    4.79299999999946e-05×2.39049442593009e-05×6371000²
    4.79299999999946e-05×2.39049442593009e-05×40589641000000     		ar = 43322.3540847869m²