Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 66564 / 46076
↖ ↑ ↗
← N 47.047668°
E  2.823486°		 ← 208.11 m → N 47.047668°
E  2.826233°		 →
↑
208.08 m
↓
↑
208.08 m
↓
N 47.045797°
E  2.823486°		 ← 208.12 m →
43 304 m²		 N 47.045797°
E  2.826233°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 66564 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 46076 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.507846832275391 y=0.351535797119141 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.507846832275391 × 217)
    floor (0.507846832275391 × 131072)
    floor (66564.5)     		tx = 66564
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.351535797119141 × 217)
    floor (0.351535797119141 × 131072)
    floor (46076.5)     		ty = 46076
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 66564 / 46076 ti = "17/66564/46076"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/66564/46076.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 66564 ÷ 217
    66564 ÷ 131072     		x = 0.507843017578125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 46076 ÷ 217
    46076 ÷ 131072     		y = 0.351531982421875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.507843017578125 × 2 - 1) × π
    0.01568603515625 × 3.1415926535     		Λ = 0.04927913
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.351531982421875 × 2 - 1) × π
    0.29693603515625 × 3.1415926535     		Φ = 0.932852066606293
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.04927913} λ = 0.04927913}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.932852066606293))-π/2
    2×atan(2.5417480846222)-π/2
    2×1.19596652497003-π/2
    2.39193304994005-1.57079632675     		φ = 0.82113672
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.04927913} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 2.823486°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.82113672 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 47.047668°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 66564 KachelY 46076 0.04927913 0.82113672 2.823486 47.047668
    Oben rechts KachelX + 1 66565 KachelY 46076 0.04932707 0.82113672 2.826233 47.047668
    Unten links KachelX 66564 KachelY + 1 46077 0.04927913 0.82110406 2.823486 47.045797
    Unten rechts KachelX + 1 66565 KachelY + 1 46077 0.04932707 0.82110406 2.826233 47.045797
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.82113672-0.82110406) × R
    3.26600000000177e-05 × 6371000     		dl = 208.076860000113m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.82113672-0.82110406) × R
    3.26600000000177e-05 × 6371000     		dr = 208.076860000113m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.04927913-0.04932707) × cos(0.82113672) × R
    4.79400000000033e-05 × 0.681389658619029 × 6371000     		do = 208.113940712078m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.04927913-0.04932707) × cos(0.82110406) × R
    4.79400000000033e-05 × 0.681413562790629 × 6371000     		du = 208.121241661379m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.82113672)-sin(0.82110406))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.681389658619029-0.681413562790629)×R²
    abs(0.04932707-0.04927913)×2.39041716008082e-05×R²
    4.79400000000033e-05×2.39041716008082e-05×6371000²
    4.79400000000033e-05×2.39041716008082e-05×40589641000000     		ar = 43304.4548888485m²