Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 66565 / 46083
↖ ↑ ↗
← N 47.034567°
E  2.826233°		 ← 208.17 m → N 47.034567°
E  2.828980°		 →
↑
208.14 m
↓
↑
208.14 m
↓
N 47.032695°
E  2.826233°		 ← 208.17 m →
43 328 m²		 N 47.032695°
E  2.828980°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 66565 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 46083 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.507854461669922 y=0.351589202880859 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.507854461669922 × 217)
    floor (0.507854461669922 × 131072)
    floor (66565.5)     		tx = 66565
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.351589202880859 × 217)
    floor (0.351589202880859 × 131072)
    floor (46083.5)     		ty = 46083
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 66565 / 46083 ti = "17/66565/46083"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/66565/46083.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 66565 ÷ 217
    66565 ÷ 131072     		x = 0.507850646972656
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 46083 ÷ 217
    46083 ÷ 131072     		y = 0.351585388183594
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.507850646972656 × 2 - 1) × π
    0.0157012939453125 × 3.1415926535     		Λ = 0.04932707
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.351585388183594 × 2 - 1) × π
    0.296829223632812 × 3.1415926535     		Φ = 0.932516508308952
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.04932707} λ = 0.04932707}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.932516508308952))-π/2
    2×atan(2.54089532304627)-π/2
    2×1.19585218795444-π/2
    2.39170437590888-1.57079632675     		φ = 0.82090805
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.04932707} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 2.826233°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.82090805 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 47.034567°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 66565 KachelY 46083 0.04932707 0.82090805 2.826233 47.034567
    Oben rechts KachelX + 1 66566 KachelY 46083 0.04937501 0.82090805 2.828980 47.034567
    Unten links KachelX 66565 KachelY + 1 46084 0.04932707 0.82087538 2.826233 47.032695
    Unten rechts KachelX + 1 66566 KachelY + 1 46084 0.04937501 0.82087538 2.828980 47.032695
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.82090805-0.82087538) × R
    3.26699999999569e-05 × 6371000     		dl = 208.140569999725m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.82090805-0.82087538) × R
    3.26699999999569e-05 × 6371000     		dr = 208.140569999725m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.04932707-0.04937501) × cos(0.82090805) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.681557009143802 × 6371000     		do = 208.165053869917m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.04932707-0.04937501) × cos(0.82087538) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.681580915543252 × 6371000     		du = 208.172355499659m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.82090805)-sin(0.82087538))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.681557009143802-0.681580915543252)×R²
    abs(0.04937501-0.04932707)×2.39063994493804e-05×R²
    4.79399999999963e-05×2.39063994493804e-05×6371000²
    4.79399999999963e-05×2.39063994493804e-05×40589641000000     		ar = 43328.352853166m²