Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 66567 / 46087
↖ ↑ ↗
← N 47.027078°
E  2.831726°		 ← 208.19 m → N 47.027078°
E  2.834473°		 →
↑
208.14 m
↓
↑
208.14 m
↓
N 47.025206°
E  2.831726°		 ← 208.20 m →
43 334 m²		 N 47.025206°
E  2.834473°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 66567 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 46087 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.507869720458984 y=0.351619720458984 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.507869720458984 × 217)
    floor (0.507869720458984 × 131072)
    floor (66567.5)     		tx = 66567
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.351619720458984 × 217)
    floor (0.351619720458984 × 131072)
    floor (46087.5)     		ty = 46087
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 66567 / 46087 ti = "17/66567/46087"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/66567/46087.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 66567 ÷ 217
    66567 ÷ 131072     		x = 0.507865905761719
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 46087 ÷ 217
    46087 ÷ 131072     		y = 0.351615905761719
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.507865905761719 × 2 - 1) × π
    0.0157318115234375 × 3.1415926535     		Λ = 0.04942294
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.351615905761719 × 2 - 1) × π
    0.296768188476562 × 3.1415926535     		Φ = 0.932324760710472
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.04942294} λ = 0.04942294}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.932324760710472))-π/2
    2×atan(2.54040815917783)-π/2
    2×1.19578683991018-π/2
    2.39157367982036-1.57079632675     		φ = 0.82077735
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.04942294} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 2.831726°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.82077735 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 47.027078°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 66567 KachelY 46087 0.04942294 0.82077735 2.831726 47.027078
    Oben rechts KachelX + 1 66568 KachelY 46087 0.04947088 0.82077735 2.834473 47.027078
    Unten links KachelX 66567 KachelY + 1 46088 0.04942294 0.82074468 2.831726 47.025206
    Unten rechts KachelX + 1 66568 KachelY + 1 46088 0.04947088 0.82074468 2.834473 47.025206
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.82077735-0.82074468) × R
    3.26699999999569e-05 × 6371000     		dl = 208.140569999725m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.82077735-0.82074468) × R
    3.26699999999569e-05 × 6371000     		dr = 208.140569999725m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.04942294-0.04947088) × cos(0.82077735) × R
    4.79400000000033e-05 × 0.681652645010191 × 6371000     		do = 208.194263525209m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.04942294-0.04947088) × cos(0.82074468) × R
    4.79400000000033e-05 × 0.681676548499157 × 6371000     		du = 208.201564266015m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.82077735)-sin(0.82074468))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.681652645010191-0.681676548499157)×R²
    abs(0.04947088-0.04942294)×2.39034889668588e-05×R²
    4.79400000000033e-05×2.39034889668588e-05×6371000²
    4.79400000000033e-05×2.39034889668588e-05×40589641000000     		ar = 43334.4324747208m²