Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 66575 / 44047
↖ ↑ ↗
← N 50.710374°
E  2.853699°		 ← 193.41 m → N 50.710374°
E  2.856446°		 →
↑
193.42 m
↓
↑
193.42 m
↓
N 50.708634°
E  2.853699°		 ← 193.42 m →
37 410 m²		 N 50.708634°
E  2.856446°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 66575 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 44047 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.507930755615234 y=0.336055755615234 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.507930755615234 × 217)
    floor (0.507930755615234 × 131072)
    floor (66575.5)     		tx = 66575
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.336055755615234 × 217)
    floor (0.336055755615234 × 131072)
    floor (44047.5)     		ty = 44047
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 66575 / 44047 ti = "17/66575/44047"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/66575/44047.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 66575 ÷ 217
    66575 ÷ 131072     		x = 0.507926940917969
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 44047 ÷ 217
    44047 ÷ 131072     		y = 0.336051940917969
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.507926940917969 × 2 - 1) × π
    0.0158538818359375 × 3.1415926535     		Λ = 0.04980644
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.336051940917969 × 2 - 1) × π
    0.327896118164062 × 3.1415926535     		Φ = 1.03011603593539
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.04980644} λ = 0.04980644}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.03011603593539))-π/2
    2×atan(2.80139087785127)-π/2
    2×1.22792965621119-π/2
    2.45585931242237-1.57079632675     		φ = 0.88506299
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.04980644} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 2.853699°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.88506299 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 50.710374°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 66575 KachelY 44047 0.04980644 0.88506299 2.853699 50.710374
    Oben rechts KachelX + 1 66576 KachelY 44047 0.04985438 0.88506299 2.856446 50.710374
    Unten links KachelX 66575 KachelY + 1 44048 0.04980644 0.88503263 2.853699 50.708634
    Unten rechts KachelX + 1 66576 KachelY + 1 44048 0.04985438 0.88503263 2.856446 50.708634
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.88506299-0.88503263) × R
    3.0360000000007e-05 × 6371000     		dl = 193.423560000045m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.88506299-0.88503263) × R
    3.0360000000007e-05 × 6371000     		dr = 193.423560000045m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.04980644-0.04985438) × cos(0.88506299) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.633240751327044 × 6371000     		do = 193.408025072204m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.04980644-0.04985438) × cos(0.88503263) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.633264248305253 × 6371000     		du = 193.415201654161m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.88506299)-sin(0.88503263))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.633240751327044-0.633264248305253)×R²
    abs(0.04985438-0.04980644)×2.34969782085814e-05×R²
    4.79399999999963e-05×2.34969782085814e-05×6371000²
    4.79399999999963e-05×2.34969782085814e-05×40589641000000     		ar = 37410.362804817m²