Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 66576 / 44048
↖ ↑ ↗
← N 50.708634°
E  2.856446°		 ← 193.37 m → N 50.708634°
E  2.859192°		 →
↑
193.42 m
↓
↑
193.42 m
↓
N 50.706895°
E  2.856446°		 ← 193.38 m →
37 404 m²		 N 50.706895°
E  2.859192°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 66576 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 44048 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.507938385009766 y=0.336063385009766 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.507938385009766 × 217)
    floor (0.507938385009766 × 131072)
    floor (66576.5)     		tx = 66576
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.336063385009766 × 217)
    floor (0.336063385009766 × 131072)
    floor (44048.5)     		ty = 44048
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 66576 / 44048 ti = "17/66576/44048"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/66576/44048.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 66576 ÷ 217
    66576 ÷ 131072     		x = 0.5079345703125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 44048 ÷ 217
    44048 ÷ 131072     		y = 0.3360595703125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.5079345703125 × 2 - 1) × π
    0.015869140625 × 3.1415926535     		Λ = 0.04985438
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.3360595703125 × 2 - 1) × π
    0.327880859375 × 3.1415926535     		Φ = 1.03006809903577
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.04985438} λ = 0.04985438}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.03006809903577))-π/2
    2×atan(2.80125659107663)-π/2
    2×1.22791447813038-π/2
    2.45582895626077-1.57079632675     		φ = 0.88503263
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.04985438} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 2.856446°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.88503263 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 50.708634°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 66576 KachelY 44048 0.04985438 0.88503263 2.856446 50.708634
    Oben rechts KachelX + 1 66577 KachelY 44048 0.04990231 0.88503263 2.859192 50.708634
    Unten links KachelX 66576 KachelY + 1 44049 0.04985438 0.88500227 2.856446 50.706895
    Unten rechts KachelX + 1 66577 KachelY + 1 44049 0.04990231 0.88500227 2.859192 50.706895
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.88503263-0.88500227) × R
    3.0360000000007e-05 × 6371000     		dl = 193.423560000045m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.88503263-0.88500227) × R
    3.0360000000007e-05 × 6371000     		dr = 193.423560000045m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.04985438-0.04990231) × cos(0.88503263) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.633264248305253 × 6371000     		do = 193.374856388922m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.04985438-0.04990231) × cos(0.88500227) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.633287744699763 × 6371000     		du = 193.382031295648m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.88503263)-sin(0.88500227))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.633264248305253-0.633287744699763)×R²
    abs(0.04990231-0.04985438)×2.34963945101585e-05×R²
    4.79300000000016e-05×2.34963945101585e-05×6371000²
    4.79300000000016e-05×2.34963945101585e-05×40589641000000     		ar = 37403.9470381659m²