Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 66577 / 46095
↖ ↑ ↗
← N 47.012099°
E  2.859192°		 ← 208.25 m → N 47.012099°
E  2.861939°		 →
↑
208.27 m
↓
↑
208.27 m
↓
N 47.010226°
E  2.859192°		 ← 208.26 m →
43 373 m²		 N 47.010226°
E  2.861939°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 66577 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 46095 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.507946014404297 y=0.351680755615234 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.507946014404297 × 217)
    floor (0.507946014404297 × 131072)
    floor (66577.5)     		tx = 66577
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.351680755615234 × 217)
    floor (0.351680755615234 × 131072)
    floor (46095.5)     		ty = 46095
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 66577 / 46095 ti = "17/66577/46095"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/66577/46095.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 66577 ÷ 217
    66577 ÷ 131072     		x = 0.507942199707031
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 46095 ÷ 217
    46095 ÷ 131072     		y = 0.351676940917969
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.507942199707031 × 2 - 1) × π
    0.0158843994140625 × 3.1415926535     		Λ = 0.04990231
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.351676940917969 × 2 - 1) × π
    0.296646118164062 × 3.1415926535     		Φ = 0.931941265513512
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.04990231} λ = 0.04990231}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.931941265513512))-π/2
    2×atan(2.53943411163368)-π/2
    2×1.19565611631513-π/2
    2.39131223263026-1.57079632675     		φ = 0.82051591
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.04990231} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 2.859192°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.82051591 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 47.012099°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 66577 KachelY 46095 0.04990231 0.82051591 2.859192 47.012099
    Oben rechts KachelX + 1 66578 KachelY 46095 0.04995025 0.82051591 2.861939 47.012099
    Unten links KachelX 66577 KachelY + 1 46096 0.04990231 0.82048322 2.859192 47.010226
    Unten rechts KachelX + 1 66578 KachelY + 1 46096 0.04995025 0.82048322 2.861939 47.010226
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.82051591-0.82048322) × R
    3.26900000000574e-05 × 6371000     		dl = 208.267990000366m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.82051591-0.82048322) × R
    3.26900000000574e-05 × 6371000     		dr = 208.267990000366m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.04990231-0.04995025) × cos(0.82051591) × R
    4.79400000000033e-05 × 0.681843911068269 × 6371000     		do = 208.252681102534m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.04990231-0.04995025) × cos(0.82048322) × R
    4.79400000000033e-05 × 0.681867823363663 × 6371000     		du = 208.25998453305m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.82051591)-sin(0.82048322))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.681843911068269-0.681867823363663)×R²
    abs(0.04995025-0.04990231)×2.39122953941129e-05×R²
    4.79400000000033e-05×2.39122953941129e-05×6371000²
    4.79400000000033e-05×2.39122953941129e-05×40589641000000     		ar = 43373.1278446992m²