Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 66594 / 44066
↖ ↑ ↗
← N 50.677317°
E  2.905884°		 ← 193.54 m → N 50.677317°
E  2.908631°		 →
↑
193.55 m
↓
↑
193.55 m
↓
N 50.675576°
E  2.905884°		 ← 193.55 m →
37 461 m²		 N 50.675576°
E  2.908631°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 66594 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 44066 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.508075714111328 y=0.336200714111328 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.508075714111328 × 217)
    floor (0.508075714111328 × 131072)
    floor (66594.5)     		tx = 66594
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.336200714111328 × 217)
    floor (0.336200714111328 × 131072)
    floor (44066.5)     		ty = 44066
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 66594 / 44066 ti = "17/66594/44066"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/66594/44066.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 66594 ÷ 217
    66594 ÷ 131072     		x = 0.508071899414062
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 44066 ÷ 217
    44066 ÷ 131072     		y = 0.336196899414062
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.508071899414062 × 2 - 1) × π
    0.016143798828125 × 3.1415926535     		Λ = 0.05071724
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.336196899414062 × 2 - 1) × π
    0.327606201171875 × 3.1415926535     		Φ = 1.02920523484261
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.05071724} λ = 0.05071724}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.02920523484261))-π/2
    2×atan(2.79884052958471)-π/2
    2×1.22764117637599-π/2
    2.45528235275197-1.57079632675     		φ = 0.88448603
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.05071724} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 2.905884°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.88448603 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 50.677317°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 66594 KachelY 44066 0.05071724 0.88448603 2.905884 50.677317
    Oben rechts KachelX + 1 66595 KachelY 44066 0.05076518 0.88448603 2.908631 50.677317
    Unten links KachelX 66594 KachelY + 1 44067 0.05071724 0.88445565 2.905884 50.675576
    Unten rechts KachelX + 1 66595 KachelY + 1 44067 0.05076518 0.88445565 2.908631 50.675576
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.88448603-0.88445565) × R
    3.03799999999965e-05 × 6371000     		dl = 193.550979999978m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.88448603-0.88445565) × R
    3.03799999999965e-05 × 6371000     		dr = 193.550979999978m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.05071724-0.05076518) × cos(0.88448603) × R
    4.79400000000033e-05 × 0.633687186910328 × 6371000     		do = 193.544377990618m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.05071724-0.05076518) × cos(0.88445565) × R
    4.79400000000033e-05 × 0.633710688263658 × 6371000     		du = 193.55155590885m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.88448603)-sin(0.88445565))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.633687186910328-0.633710688263658)×R²
    abs(0.05076518-0.05071724)×2.35013533302908e-05×R²
    4.79400000000033e-05×2.35013533302908e-05×6371000²
    4.79400000000033e-05×2.35013533302908e-05×40589641000000     		ar = 37461.3986830905m²